已知函数 $ f\left(x\right)=rx-x^r+\left(1-r\right)\left(x>0\right) $，其中 $ r $ 为有理数，且 $ 0<r<1 $，求 $ f\left(x\right) $ 的最小值；
【难度】
【出处】
2012年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
【解析】
\[ f'\left(x\right)=r-rx^{r-1}=r\left(1-x^{r-1}\right),\]令 $ f'\left(x\right)=0 $，解得\[x=1.\]当 $ 0<x<1 $ 时，$ f’\left(x\right)<0 $，所以 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(0,1\right) $ 上是减函数；
当 $ x>1 $ 时，$ f'\left(x\right)>0 $，所以 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(1,+\infty \right) $ 上是增函数．
故函数 $ f\left(x\right) $ 在 $ x=1 $ 处取得最小值 $ f\left(1\right)=0 $．
当 $ x>1 $ 时，$ f'\left(x\right)>0 $，所以 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(1,+\infty \right) $ 上是增函数．
故函数 $ f\left(x\right) $ 在 $ x=1 $ 处取得最小值 $ f\left(1\right)=0 $．
答案
解析
备注
