在 $ \triangle ABC $ 中，内角 $ A$，$B$，$C $ 的对边分别为 $ a$，$b$，$c $．已知 $ \cos A={\dfrac{2}{3}}$，$\sin B={\sqrt{5}}\cos C $．
【难度】
【出处】
2012年高考浙江卷（理）
【标注】
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求 $ \tan C $ 的值；标注答案解析因为 $ 0<A<{\mathrm \pi } $，$\cos A={\dfrac{2}{3}} $，得\[ \sin A={\sqrt{1-\cos ^2A}}={\dfrac{{\sqrt{5}}}{3}}. \]又\[\begin{split} \sqrt{5}\cos C &=\sin B\\&=\sin \left(A+C\right)\\&=\sin A\cos C+\cos A\sin C\\&=\dfrac{\sqrt5}{3}\cos C+\dfrac{2}{3}\sin C,\end{split} \]所以\[ \tan C={\sqrt{5}}. \]
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若 $ a={\sqrt{2}} $，求 $ \triangle ABC $ 的面积．标注答案解析由 $ \tan C={\sqrt{5}} $，得\[ \sin C={\dfrac{{\sqrt{5}}}{{\sqrt{6}}}},\cos C={\dfrac{1}{{\sqrt{6}}}}, \]于是\[ \sin B={\sqrt{5}}\cos C={\dfrac{{\sqrt{5}}}{{\sqrt{6}}}}.\]由 $ a={\sqrt{2}} $ 及正弦定理 $ {\dfrac{a}{\sin A}}={\dfrac{c}{\sin C}} $，得\[ c={\sqrt{3}}.\]设 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ S $，则\[ S={\dfrac{1}{2}}ac \sin B={\dfrac{{\sqrt{5}}}{2}}. \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
