由 $ B={\mathrm \pi } -\left(A+C\right) $，得\[ \cos B=-\cos \left(A+C\right).\]于是\[ \begin{split}\cos \left(A-C\right)+\cos B&=\cos \left(A-C\right)-\cos \left(A+C\right)\\&=2\sin A\sin C,\end{split} \]由已知得\[ \sin A\sin C={\dfrac{1}{2}}, \quad \cdots \cdots ① \]由 $ a=2c $ 及正弦定理得\[ \sin A=2\sin C, \quad \cdots \cdots ② \]由 ①② 得 $ \sin ^2C={\dfrac{1}{4}} $，于是\[ \sin C=-{\dfrac{1}{2}}\left(舍去\right)或\sin C={\dfrac{1}{2}}.\]又 $ a=2c $，所以\[ C={\dfrac{{\mathrm \pi } }{6}}. \]