题目 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 $ 10 $ 平前，一方连续发球 $ 2 $ 次后，对方再连续发球 $ 2 $ 次，依次轮换．每次发球，胜方得 $ 1 $ 分，负方得 $ 0 $ 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 $ 1 $ 分的概率为 $ 0.6 $，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球． 问题1 求开始第 $ 4 $ 次发球时，甲、乙的比分为 $ 1 $ 比 $ 2 $ 的概率； 答案1 解析1 记 $ A_i $ 表示事件：第 $ 1 $ 次和第 $ 2 $ 次这两次发球，甲共得 $ i $ 分，$ i=0,1,2 $；<br/>$ A $ 表示事件：第 $ 3 $ 次发球，甲得 $ 1 $ 分；<br/>$ B $ 表示事件：开始第 $ 4 $ 次发球时，甲、乙的比分为 $ 1 $ 比 $ 2 $．因此有\[ B=A_0\cdot A+A_1\cdot \overline A,\]故可得到\[\begin{split}P\left(B\right) &=P\left(A_0\cdot A+A_1\cdot \overline A \right)\\&=P\left(A_0\cdot A\right)+P\left(A_1\cdot \overline A \right)\\&=P\left(A_0\right)P\left( A\right)+P\left(A_1\right)P\left(\overline A \right)\\&=0.16\times 0.4+0.48\times \left(1-0.4\right)\\&=0.352.\end{split}\] 备注1 问题2 $ \xi $ 表示开始第 $ 4 $ 次发球时乙的得分，求 $ \xi $ 的期望． 答案2 解析2 结合（1）可知\[ \begin{split}P\left(\xi =0\right)&=P\left(A_2\cdot A\right)=P\left(A_2\right)P\left(A\right)=0.36\times 0.4=0.144,\\P\left(\xi =2\right)&=P\left(B\right)=0.352,\\P\left(\xi =3\right)&=P\left(A_0\cdot \overline A \right)=P\left(A_0\right)P\left(\overline A \right)=0.16\times 0.6=0.096,\\P\left(\xi =1\right) &=1-P\left(\xi =0\right)-P\left(\xi =2\right)-P\left(\xi =3\right)=0.408.\end{split} \]因此 $\xi$ 的期望为\[ \begin{split}E\left(\xi\right)& =0\times P\left(\xi =0\right)+1\times P\left(\xi =1\right)+2\times P\left(\xi =2\right)+3\times P\left(\xi =3\right)\\&=0.408+2\times 0.352+3\times 0.096\\&=1.400.\end{split} \] 备注2