\[ f ′\left(x\right)=a-\sin x. \]（ⅰ）当 $ a\geqslant 1 $ 时，$ f ′\left(x\right)\geqslant 0 $，当且仅当 $ a=1,x={\dfrac{\mathrm \pi }{2}} $ 时，$ f ′\left(x\right)=0 $，所以 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,{\mathrm \pi }\right] $ 上是增函数；
（ⅱ）当 $ a\leqslant 0 $ 时，$ f ′\left(x\right)\leqslant 0 $，当且仅当 $ a=0$，$x=0 $ 或 ${\mathrm \pi } $ 时，$ f ′\left(x\right)=0 $，所以 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,{\mathrm \pi }\right] $ 上是减函数；
（ⅲ）当 $ 0<a<1 $ 时，由 $ f ′\left(x\right)=0 $，解得\[ \begin{split}x_1&=\arcsin a,\\x_2&={\mathrm \pi }-\arcsin a .\end{split}\]当 $ x\in \left[0,x_1\right) $ 时，$ \sin x<a,f ′\left(x\right)>0 $，$ f\left(x\right) $ 是增函数；
当 $ x\in \left(x_1,x_2\right) $ 时，$ \sin x>a,f ′\left(x\right)<0 $，$ f\left(x\right) $ 是减函数；
当 $ x\in \left(x_2,{\mathrm \pi } \right] $ 时，$ \sin x<a,f ′\left(x\right)>0 $，$ f\left(x\right) $ 是增函数．

由 $ f\left(x\right)\leqslant 1+\sin x $ 得 $ f\left(\mathrm \pi \right)\leqslant 1,a{\mathrm \pi } -1\leqslant 1 $，所以 $ a\leqslant {\dfrac{2}{\mathrm \pi }} $．
令 $ g\left(x\right)=\sin x-{\dfrac{2}{\mathrm \pi }}x \left(0\leqslant x\leqslant {\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}} \right) $，则\[ {{g′\left(x\right)=\cos x-{\dfrac{2}{{\mathrm \pi } }}}} .\]当 $ x\in \left(0,\arccos {\dfrac{2}{\mathrm \pi }} \right)$ 时，$ g′\left(x\right)>0 $；
当 $ x\in \left( \arccos {\dfrac{2}{{\mathrm \pi } }},{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}} \right) $ 时，$ g′\left(x\right)<0 $．
又 $ g\left(0\right)=g \left({\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}}\right) =0 $，所以 $ g\left(x\right)\geqslant 0 $，即\[ {\dfrac{2}{{\mathrm \pi } }}x\leqslant \sin x \left(0\leqslant x\leqslant {\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}}\right) . \]当 $ a\leqslant {\dfrac{2}{{\mathrm \pi } }} $ 时，有\[ f\left(x\right)\leqslant {\dfrac{2}{\mathrm \pi }}x+\cos x .\]（ⅰ）当 $ 0\leqslant x\leqslant {\dfrac{\mathrm \pi }{2}} $ 时，$ {\dfrac{2}{\mathrm \pi }}x\leqslant \sin x,\cos x\leqslant 1 $，所以\[f\left(x\right)\leqslant 1+\sin x; \]（ⅱ）当 $ {\dfrac{\mathrm \pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\mathrm \pi } $ 时，\[ \begin{split}f\left(x\right)&\leqslant {\dfrac{2}{\mathrm \pi }}x+\cos x\\&=1+{\dfrac{2}{\mathrm \pi }}\left( x-{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}} \right)-\sin \left( x-{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}}\right) \\&\leqslant 1+\sin x .\end{split}\]综上，$ a $ 的取值范围是 $ \left(-\infty ,{\dfrac{2}{\mathrm \pi }} \right] $．