设 $ A\left(x_0,\left(x_0+1\right)^2\right) $．对 $ y=\left(x+1\right)^2 $ 求导得\[ y′=2\left(x+1\right), \]故 $ l $ 的斜率\[ k=2\left(x_0+1\right). \]当 $ x_0=1 $ 时，不合题意，所以 $ x_0\neq 1 $．
圆心为 $ M \left(1,{\dfrac{1}{2}}\right) $，$ MA $ 的斜率\[ k′=\dfrac{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2} - \dfrac{1}{2}}}{{{x_0} - 1}}.\]由 $ l\perp MA $ 知 $ k\cdot k′=-1 $，即\[ 2\left(x_0+1\right)\cdot \dfrac{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2} - \dfrac{1}{2}}}{{{x_0} - 1}}=-1, \]解得 $ x_0=0 $，则\[ A\left(0,1\right) ,\]从而\[ r=|MA|={\sqrt{\left(1-0\right)^2+ \left({\dfrac{1}{2}}-1 \right)^2}}={\dfrac{{\sqrt{5}}}{2}}, \]即\[ r={\dfrac{{\sqrt{5}}}{2}}. \]

设 $ \left(t,\left(t+1\right)^2\right) $ 为 $ C $ 上一点，则在该点处的切线方程为\[ y-\left(t+1\right)^2=2\left(t+1\right)\left(x-t\right), \]即\[ y=2\left(t+1\right)x-t^2+1. \]若该直线与圆 $ M $ 相切，则圆心 $ M $ 到该切线的距离为 $ {\dfrac{{\sqrt{5}}}{2}} $，即\[ \dfrac{ \left|2\left(t+1\right)\times 1- \dfrac12-t^2+1 \right|} {\sqrt{\left[2\left(t+1\right)\right]^2+\left(-1\right)^2}} ={\dfrac{{\sqrt{5}}}{2}}, \]化简得\[ t^2\left(t^2-4t-6\right)=0, \]解得\[ t_0=0,t_1=2+{\sqrt{10}},t_2=2-{\sqrt{10}}. \]抛物线 $ C $ 在点 $ \left(t_i,\left(t_i+1\right)^2\right)\left(i=0,1,2\right) $ 处的切线分别为 $ l$、$m$、$n $，其方程分别为\[\begin{split} y&=2x+1, &\quad \cdots \cdots ① \\ y&=2\left(t_1+1\right)x-t_1^2+1,& \quad \cdots \cdots ② \\y&=2\left(t_2+1\right)x-t_2^2+1,& \quad \cdots \cdots ③ \end{split} \]$ ② - ③ $ 得\[ x={\dfrac{t_1+t_2}{2}}=2. \]将 $ x=2 $ 代入 $ ② $ 得\[ y=-1, \]从而\[ D\left(2,-1\right). \]所以 $ D $ 到 $ l $ 的距离为\[ d={\dfrac{|2\times 2-\left(-1\right)+1|}{{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}}}={\dfrac{6{\sqrt{5}}}{5}}. \]