题目

查看数据源：599165b62bfec200011de163

某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
办理业务所需的时间\left(分\right)&1& 2& 3& 4& 5\\ \hline
频率& 0.1& 0.4& 0.3& 0.1& 0.1\\ \hline \end{array} \]从第一个顾客开始办理业务时计时．

【难度】

【出处】

2012年高考陕西卷（理）

【标注】

估计第三个顾客恰好等待 $ 4 $ 分钟开始办理业务的概率；
标注
答案

$ 0.22 $

解析

设 $ Y $ 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得 $ Y $ 的分布列如下：\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
Y &1& 2 &3 &4 &5\\ \hline
P& 0.1& 0.4 &0.3 &0.1 &0.1\\ \hline
\end{array} $ A $ 表示事件"第三个顾客恰好等待 $ 4 $ 分钟开始办理业务"，则事件 $ A $ 对应三种情形：
① 第一个顾客办理业务所需的时间为 $ 1 $ 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 $ 3 $ 分钟；
② 第一个顾客办理业务所需的时间为 $ 3 $ 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 $ 1 $ 分钟；
③ 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 $ 2 $ 分钟．
所以\[ \begin{split}P\left(A\right) &=P\left(Y=1\right)P\left(Y=3\right)+P\left(Y=3\right)P\left(Y=1\right)+P\left(Y=2\right)P\left(Y=2\right)\\&=0.1\times 0.3+0.3\times 0.1+0.4\times 0.4\\&=0.22.\end{split} \]
$ X $ 表示至第 $ 2 $ 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 $ X $ 的分布列及数学期望．
标注
答案

$ X $ 的分布列为\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
X& 0& 1& 2\\ \hline
P& 0.5& 0.49& 0.01\\ \hline\end{array}\[ \begin{split}EX&=0\times 0.5+1\times 0.49+2\times 0.01\\&=0.51.\end{split} \]

解析

解法一：$ X $ 所有可能的取值为 $ 0,1,2 $．
$ X=0 $ 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 $ 2 $ 分钟，所以\[ P\left(X=0\right)=P\left(Y>2\right)=0.5;\]$ X=1 $ 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 $ 1 $ 分钟且第二个顾客办理业务
所需的时间超过 $ 1 $ 分钟或第一个顾客办理业务所需的时间为 $ 2 $ 分钟，所以\[ \begin{split}P\left(X=1\right) &=P\left(Y=1\right)P\left(Y>1\right)+P\left(Y=2\right)\\&=0.1\times 0.9+0.4\\&=0.49;\end{split} \]$ X=2 $ 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 $ 1 $ 分钟，所以\[\begin{split} P\left(X=2\right)&=P\left(Y=1\right)P\left(Y=1\right)\\&=0.1\times 0.1\\&=0.01,\end{split} \]所以 $ X $ 的分布列为 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
X& 0 &1& 2\\ \hline
P &0.5 &0.49& 0.01\\ \hline \end{array}\[ \begin{split}EX&=0\times 0.5+1\times 0.49+2\times 0.01\\&=0.51.\end{split} \]解法二：$ X $ 所有可能的取值为 $ 0,1,2 $．
$ X=0 $ 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 $ 2 $ 分钟，所以\[ P\left(X=0\right)=P\left(Y>2\right)=0.5; \]$ X=2 $ 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 $ 1 $ 分钟，所以\[ \begin{split}P\left(X=2\right)&=P\left(Y=1\right)P\left(Y=1\right)\\&=0.1\times 0.1\\&=0.01; \\P\left(X=1\right)&=1-P\left(X=0\right)-P\left(X=2\right)\\&=0.49,\end{split}\]所以 $ X $ 的分布列为\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
X& 0& 1& 2\\ \hline
P& 0.5& 0.49& 0.01\\ \hline\end{array}\[ \begin{split}EX&=0\times 0.5+1\times 0.49+2\times 0.01\\&=0.51.\end{split} \]

题目问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2

解法一：$ X $ 所有可能的取值为 $ 0,1,2 $． $ X=0 $ 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 $ 2 $ 分钟，所以\[ P\left(X=0\right)=P\left(Y>2\right)=0.5;\]$ X=1 $ 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 $ 1 $ 分钟且第二个顾客办理业务 所需的时间超过 $ 1 $ 分钟或第一个顾客办理业务所需的时间为 $ 2 $ 分钟，所以\[ \begin{split}P\left(X=1\right) &=P\left(Y=1\right)P\left(Y>1\right)+P\left(Y=2\right)\\&=0.1\times 0.9+0.4\\&=0.49;\end{split} \]$ X=2 $ 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 $ 1 $ 分钟，所以\[\begin{split} P\left(X=2\right)&=P\left(Y=1\right)P\left(Y=1\right)\\&=0.1\times 0.1\\&=0.01,\end{split} \]所以 $ X $ 的分布列为 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X& 0 &1& 2\\ \hline P &0.5 &0.49& 0.01\\ \hline \end{array}\[ \begin{split}EX&=0\times 0.5+1\times 0.49+2\times 0.01\\&=0.51.\end{split} \]解法二：$ X $ 所有可能的取值为 $ 0,1,2 $． $ X=0 $ 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 $ 2 $ 分钟，所以\[ P\left(X=0\right)=P\left(Y>2\right)=0.5; \]$ X=2 $ 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 $ 1 $ 分钟，所以\[ \begin{split}P\left(X=2\right)&=P\left(Y=1\right)P\left(Y=1\right)\\&=0.1\times 0.1\\&=0.01; \\P\left(X=1\right)&=1-P\left(X=0\right)-P\left(X=2\right)\\&=0.49,\end{split}\]所以 $ X $ 的分布列为\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X& 0& 1& 2\\ \hline P& 0.5& 0.49& 0.01\\ \hline\end{array}\[ \begin{split}EX&=0\times 0.5+1\times 0.49+2\times 0.01\\&=0.51.\end{split} \]