某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
① $ \sin ^213^\circ +\cos ^217^\circ -\sin 13^\circ \cos 17^\circ $；
② $ \sin ^215^\circ +\cos ^215^\circ -\sin 15^\circ \cos 15^\circ $；
③ $ \sin ^218^\circ +\cos ^212^\circ -\sin 18^\circ \cos 12^\circ $；
④ $ \sin ^2\left(-18^\circ \right)+\cos ^248^\circ -\sin \left(-18^\circ \right)\cos 48^\circ $；
⑤ $ \sin ^2\left(-25^\circ \right)+\cos ^255^\circ -\sin \left(-25^\circ \right)\cos 55^\circ $．
① $ \sin ^213^\circ +\cos ^217^\circ -\sin 13^\circ \cos 17^\circ $；
② $ \sin ^215^\circ +\cos ^215^\circ -\sin 15^\circ \cos 15^\circ $；
③ $ \sin ^218^\circ +\cos ^212^\circ -\sin 18^\circ \cos 12^\circ $；
④ $ \sin ^2\left(-18^\circ \right)+\cos ^248^\circ -\sin \left(-18^\circ \right)\cos 48^\circ $；
⑤ $ \sin ^2\left(-25^\circ \right)+\cos ^255^\circ -\sin \left(-25^\circ \right)\cos 55^\circ $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；标注答案解析选择 ② 式，计算如下：\[\sin ^215^\circ +\cos ^215^\circ -\sin 15^\circ \cos 15^\circ =1-{\dfrac{1}{2}}\sin 30^\circ ={\dfrac{3}{4}}. \]
-
根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．标注答案解析三角恒等式为\[ \sin ^2\alpha +\cos ^2\left(30^\circ -\alpha \right)-\sin \alpha \cos \left(30^\circ -\alpha \right)={\dfrac{3}{4}} .\]证明如下：\[ \begin{split}&\sin^2\alpha +\cos^2\left(30^\circ -\alpha \right)-\sin\alpha \cos\left(30^\circ -\alpha \right)\\&={\dfrac{1-\cos2\alpha }{2}}+{\dfrac{1+\cos\left(60^\circ -2\alpha \right)}{2}}-\sin\alpha \left(\cos30^\circ \cos\alpha +\sin30^\circ \sin\alpha \right)\\&={\dfrac{1}{2}}-{\dfrac{1}{2}}\cos2\alpha +{\dfrac{1}{2}}+{\dfrac{1}{2}}\left(\cos60^\circ \cos2\alpha +\sin60^\circ \sin2\alpha \right)-{\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}\sin\alpha \cos\alpha -{\dfrac{1}{2}}\sin^2\alpha \\&={\dfrac{1}{2}}-{\dfrac{1}{2}}\cos2\alpha +{\dfrac{1}{2}}+{\dfrac{1}{4}}\cos2\alpha +{\dfrac{{\sqrt{3}}}{4}}\sin2\alpha -{\dfrac{{\sqrt{3}}}{4}}\sin2\alpha -
{\dfrac{1}{4}}\left(1-\cos2\alpha \right)\\&=1-{\dfrac{1}{4}}\cos2\alpha -{\dfrac{1}{4}}+{\dfrac{1}{4}}\cos2\alpha \\&={\dfrac{3}{4}}.\end{split} \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
