题目 设曲线 $ 2x^2+2xy+y^2=1 $ 在矩阵 $ A= \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix} \left(a>0\right) $ 对应的变换作用下得到的曲线为 $ x^2+y^2=1 $． 问题1 求实数 $ a$，$b $ 的值； 答案1 解析1 设曲线\[2x^2+2xy+y^2=1\]上任意点 $ P\left(x,y\right) $ 在矩阵 $ A $ 对应的变换作用下的像是 $ P′\left(x′,y′\right) $．由\[\begin{pmatrix} x′\\y′ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a&0\\b&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ax\\bx+y \end{pmatrix} ,\]得\[ \begin{cases}x′=ax,\\y′=bx+y,\end{cases} \]又点 $ P′\left(x′,y′\right) $ 在 $ x^2+y^2=1 $ 上，所以\[{x'^2} + {y'^2} = 1,\]即\[a^2x^2+\left(bx+y\right)^2=1 ,\]整理得\[ \left(a^2+b^2\right)x^2+2bxy+y^2=1. \]依题意得\[ \begin{cases}a^2+b^2=2,\\2b=2 ,\end{cases}\]解得\[ \begin{cases}a=1,\\b=1,\end{cases} 或 \begin{cases}a=-1,\\b=1.\end{cases} \]因为 $ a>0 $，所以\[\begin{cases} a=1,\\b=1.\end{cases} \] 备注1 问题2 求 $ A^2 $ 的逆矩阵． 答案2 解析2 由（1）知，\[ \begin{split}A&= \begin{pmatrix}1& 0\\1&1 \end{pmatrix} ,\\A^2&= \begin{pmatrix}1&0\\1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& 0\\1& 1 \end{pmatrix}\\& = \begin{pmatrix}1&0\\2& 1 \end{pmatrix} .\end{split} \]所以\[ \left|A^2 \right|=1,\left(A^2\right)^{-1}=\begin{pmatrix} 1& 0\\-2& 1 \end{pmatrix}. \] 备注2