题目 已知数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和 $ S_n=kc^n-k $（其中 $ c,k $ 为常数），且 $ a_2=4$，$a_6=8a_3 $． 问题1 求 $ a_n $； 答案1 解析1 由 $ S_n=kc^n-k $，得\[ \begin{split}a_n&=S_n-S_{n-1}\\&=kc^n-kc^{n-1}\left(n\geqslant 2\right),\end{split}\]由 $ a_2=4$，$a_6=8a_3 $，得\[\begin{split} kc\left(c-1\right)&=4,\\kc^5\left(c-1\right)&=8kc^2\left(c-1\right),\end{split} \]解得\[ c=2,k=2, \]所以\[\begin{split} a_1&=S_1=2,\\a_n&=kc^n-kc^{n-1}\\&=2^n\left(n\geqslant 2\right),\end{split} \]于是\[ a_n=2^n. \] 备注1 问题2 求数列 $ \left\{{na_n}\right\} $ 的前 $ n $ 项和 $ T_n $． 答案2 解析2 由（1）知 $ na_n=n\cdot 2^n$，所以\[ \begin{split}T_n&=1\cdot 2^1+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+4\cdot 2^4+\cdots+n\cdot 2^n,\\2T_n&=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+3\cdot 2^4+4\cdot 2^5+\cdots +n\cdot 2^{n+1},\end{split} \]两式相减，得\[ \begin{split}-T_n &=2+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^n-n\cdot 2^{n+1}\\&=2^{n+1}-2-n\cdot 2^{n+1}\\&=\left(1-n\right)2^{n+1}-2.\end{split}\]所以\[ T_n=\left(n-1\right)\cdot 2^{n+1}+2.\] 备注2