已知三点 $ O\left(0,0\right)$，$A\left(-2,1\right)$，$B\left(2,1\right) $，曲线 $ C $ 上任意一点 $ M\left(x,y\right) $ 满足 $ {\left|{{\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {MB}}}\right|}={\overrightarrow {OM}}\cdot \left({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}\right)+2 $．
【难度】
【出处】
2012年高考江西卷（文）
【标注】
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求曲线 $ C $ 的方程；标注答案解析由\[ \begin{split}{\overrightarrow {MA}}&=\left(-2-x,1-y\right),\\ {\overrightarrow {MB}}&=\left(2-x,1-y\right) , \\ \left|{\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {MB}} \right|&={\sqrt{\left(-2x\right)^2+\left(2-2y\right)^2}},\\ {\overrightarrow {OM}}\cdot \left({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}\right)&=\left(x,y\right)\cdot \left(0,2\right)=2y ,\end{split}\]由已知得\[ {\sqrt{\left(-2x\right)^2+\left(2-2y\right)^2}}=2y+2, \]化简得曲线 $ C $ 的方程为\[ x^2=4y .\]
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点 $ Q\left(x_0,y_0\right)$ $\left(-2<x_0<2\right) $ 是曲线 $ C $ 上的动点，曲线 $ C $ 在点 $ Q $ 处的切线为 $ l $，点 $ P $ 的坐标是 $ \left(0,-1\right)$，$l $ 与 $ PA$，$PB $ 分别交于点 $ D$，$E $，求 $ \triangle QAB $ 与 $ \triangle PDE $ 的面积之比．标注答案解析直线 $ PA$，$PB $ 的方程分别是 $ y=-x-1$，$y=x-1 $，
曲线 $ C $ 在 $ Q $ 处的切线 $ l $ 的方程是 $ y={\dfrac{x_0}{2}}x-{\dfrac{x^2_0}{4}} $，
且与 $ y $ 轴的交点为 $ F \left(0,-{\dfrac{x^2_0}{4}} \right) $，分别联立方程组\[\begin{cases} y=-x-1,\\y={\dfrac{x_0}{2}}x-{\dfrac{x^2_0}{4}},\end{cases} \begin{cases}y=x-1,\\y={\dfrac{x_0}{2}}x-{\dfrac{x^2_0}{4}}, \end{cases} \]解得 $ D$，$E $ 的横坐标分别是\[ x_D={\dfrac{x_0-2}{2}},x_E={\dfrac{x_0+2}{2}}, \]则\[ x_E-x_D=2,|FP|=1-{\dfrac{x^2_0}{4}}.\]故\[\begin{split} S_{\triangle PDE}&={\dfrac{1}{2}}|FP|\cdot |x_E-x_D|\\&={\dfrac{1}{2}}\cdot \left(1-{\dfrac{x^2_0}{4}}\right) \cdot 2\\&={\dfrac{4-x^2_0}{4}},\end{split}\]而\[ \begin{split}S_{\triangle QAB}&={\dfrac{1}{2}}\cdot 4\cdot \left(1-{\dfrac{x^2_0}{4}} \right)\\&={\dfrac{4-x^2_0}{2}},\end{split} \]则\[ {\dfrac{S_{\triangle QAB}}{S_{\triangle PDE}}}=2, \]即 $ \triangle QAB $ 与 $ \triangle PDE $ 的面积之比为 $ 2 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
