题目 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金 $ 2 000 $ 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 $ 50\% $，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 $ d $ 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 $ n $ 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 $ a_n $ 万元． 问题1 用 $ d $ 表示 $ a_1$，$a_2 $，并写出 $ a_{n+1} $ 与 $ a_n $ 的关系式； 答案1 解析1 由题意得 $a_1 =2 000\left(1+50\%\right)-d =3 000-d$，$ a_2 =a_1\left(1+50\%\right)-d={\dfrac{3}{2}}a_1-d =4 500-{\dfrac{5}{2}}d$，$ a_{n+1} =a_n\left(1+50\%\right)-d ={\dfrac{3}{2}}a_n-d$． 备注1 问题2 若公司希望经过 $ m\left(m\geqslant 3\right) $ 年使企业的剩余资金为 $ 4 000 $ 万元，试确定企业每年上缴资金 $ d $ 的值（用 $ m $ 表示）． 答案2 解析2 由（1）知，${a_n} ={\dfrac{3}{2}}a_{n-1}-d$，两边同时减去 $2d$，整理得\[a_n-2d=\dfrac32\left(a_{n-1}-2d\right),\]故数列 $\left\{a_n-2d\right\}$ 是首项为 $a_1-2d$，公比为 $\dfrac32$ 的等比数列，因此\[a_n=\left({\dfrac{3}{2}} \right)^{n-1}\left(3 000-3d\right)+2d.\]由题意，$ a_m=4 000 $，即\[\left({\dfrac{3}{2}}\right) ^{m-1}\left(3 000-3d\right)+2d=4 000,\]解得\[d={\dfrac{\left[ \left({\dfrac 3 2 }\right)^m - 2\right] \times 1000}{\left(\dfrac 3 2 \right)^m-1} } ={\dfrac{1 000\left(3^m-2^{m+1}\right)}{3^m-2^m}}.\]故该企业每年上缴资金 $ d $ 的值为 $ {\dfrac{1 000\left(3^m-2^{m+1}\right)}{3^m-2^m}} $ 时，经过 $ m\left(m\geqslant 3\right) $ 年企业的剩余资金为 $ 4 000 $ 万元． 备注2