题目 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline<br/>单价x\left(元\right)& 8& 8.2 &8.4& 8.6 &8.8 &9 \\ \hline<br/>销量y\left(件\right)& 90 &84 &83& 80 &75& 68\\ \hline\end{array} \] 问题1 求回归直线方程 $ \hat y=bx+a $，其中 $ b=-20,a=\overline y-b\overline x $； 答案1 $ \hat y=-20x+250$ 解析1 由于\[ \begin{split}\overline x&={\dfrac{1}{6}}\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6\right)=8.5,\\ \overline y&={\dfrac{1}{6}}\left(y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6\right)=80.\end{split} \]所以\[ a=\overline y-b\overline x=80+20\times 8.5=250, \]从而回归直线方程为\[ \hat y=-20x+250. \] 备注1 问题2 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是 $ 4 $ 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润 $ = $ 销售收入 $ - $ 成本） 答案2 $ 8.25 $ 元 解析2 设工厂获得的利润为 $ L $ 元，依题意得\[ \begin{split}L &=x\left(-20x+250\right)-4\left(-20x+250\right)\\&=-20x^2+330x-1 000\\&=-20 \left(x-{\dfrac{33}{4}} \right)^2+361.25.\end{split} \]当且仅当 $ x=8.25 $ 时，$ L $ 取得最大值．<br/>故当单价定为 $ 8.25 $ 元时，工厂可获得最大利润． 备注2