在 $ \triangle ABC $ 中，已知 $ {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=3{\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BC}} $．
【难度】
【出处】
2012年高考江苏卷
【标注】
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求证：$ \tan B=3\tan A $；标注答案解析因为 $ {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=3{\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BC}} $，
所以\[ AB\cdot AC\cdot \cos A=3BA\cdot BC\cdot \cos B,\]即\[ AC\cdot \cos A=3BC\cdot \cos B, \]由正弦定理知\[ {\dfrac{AC}{\sin B}}={\dfrac{BC}{\sin A}}, \]从而\[ \sin B\cos A=3\sin A\cos B, \]又因为 $ 0<A+B<{\mathrm \pi } $，所以\[ \cos A>0 ,\cos B> 0,\]所以 $\tan B=3\tan A$． -
若 $ \cos C={\dfrac{{\sqrt{5}}}{5}} $，求 $ A $ 的值．标注答案解析因为 $ \cos C={\dfrac{{\sqrt{5}}}{5}},0<C<{\mathrm \pi } $，所以\[ \sin C={\sqrt{1-\cos ^2C}}={\dfrac{2{\sqrt{5}}}{5}},\]从而 $ \tan C=2 $，于是 $ \tan \left[{\mathrm \pi }-\left(A+B\right)\right]=2 $．即\[ \tan \left(A+B\right)=-2,\]亦即\[ {\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}}=-2, \]由（1）得\[ {\dfrac{4\tan A}{1-3\tan ^2A}}=-2, \]解得\[ \tan A=1或-{\dfrac{1}{3}}, \]因为 $ \cos A>0 $，故 $ \tan A=1$．所以 $ A={\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
