已知矩阵 $ A $ 的逆矩阵 ${A^{ - 1}} = \begin{pmatrix} - \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{1}{2} & - \dfrac{1}{2} \\ \end{pmatrix} $，求矩阵 $ A $ 的特征值．
【难度】
【出处】
2012年高考江苏卷
【标注】
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标注答案解析因为 $ A^{-1}A=E $，所以 $ A=\left(A^{-1}\right)^{-1} $．
因为 ${A^{ - 1}} = \begin{pmatrix} - \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{1}{2} & - \dfrac{1}{2} \\ \end{pmatrix} $，所以\[ A=\left(A^{-1}\right)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}, \]于是矩阵 $ A $ 的特征多项式为\[f\left(\lambda \right)=\begin{vmatrix} \lambda -2 & -3\\ -2& \lambda -1\end{vmatrix} =\lambda ^2-3\lambda -4.\]令 $ f\left(\lambda \right)=0 $，解得 $ A $ 的特征值 $ \lambda_1=-1 $，$ \lambda_2=4 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
