设 $\xi $ 为随机变量，从棱长为 $ 1 $ 的正方体的 $ 12 $ 条棱中任取两条，当两条棱相交时，$\xi = 0$；当两条棱平行时，$\xi $ 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，$\xi = 1$．
【难度】
【出处】
2012年高考江苏卷
【标注】
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求概率 $P\left(\xi = 0\right)$；标注答案解析若两条棱相交，则交点必为正方体 $ 8 $ 个顶点中的 $ 1 $ 个，过任意 $ 1 $ 个顶点恰有 $ 3 $ 条棱，所以共有 $ 8{\mathrm{C}}_3^2 $ 对相交棱，
因此\[P\left(\xi =0\right)={\dfrac{8{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_{12}^2}}={\dfrac{8\times 3}{66}}={\dfrac{4}{11}}.\] -
求 $\xi $ 的分布列，并求其数学期望 $E\left(\xi \right)$．标注答案解析若两条棱平行，则它们的距离为 $ 1 $ 或 $ {\sqrt{2}} $，其中距离为 $ {\sqrt{2}} $ 的共有 $ 6 $ 对，故\[P\left(\xi ={\sqrt{2}}\right)={\dfrac{6}{{\mathrm{C}}_{12}^2}}={\dfrac{1}{11}},\]于是\[P\left(\xi =1\right)=1-P\left(\xi =0\right)-P\left(\xi ={\sqrt{2}}\right)=1-{\dfrac{4}{11}}-{\dfrac{1}{11}}={\dfrac{6}{11}},\]所以随机变量 $ \xi $ 的分布列是\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\xi& 0& 1& {\sqrt{2}} \\ \hline P\left(\xi \right) & {\dfrac{4}{11}} & {\dfrac{6}{11}} & {\dfrac{1}{11}} \\ \hline \end{array}\]因此\[E\left(\xi \right)=1\times {\dfrac{6}{11}}+{\sqrt{2}}\times {\dfrac{1}{11}}={\dfrac{6+{\sqrt{2}}}{11}}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
