已知函数 $ f\left(x\right)=\lg\left(x+1\right) $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $ 0<f\left(1-2x\right)-f\left(x\right)<1 $，求 $ x $ 的取值范围；标注答案解析由 $ \begin{cases}2-2x>0,\\x+1>0,\end{cases} $ 得\[ -1<x<1 .\]由\[ \begin{split}0<\lg \left(2-2x\right)-\lg \left(x+1\right)=\lg {\dfrac{2-2x}{x+1}}<1 ,\end{split}\]得\[ 1<{\dfrac{2-2x}{x+1}}<10 .\]因为 $ x+1>0 $，所以\[ x+1<2-2x<10x+10,\]解得\[-{\dfrac{2}{3}}<x<{\dfrac{1}{3}} .\]由 $\begin{cases} -1<x<1,\\-{\dfrac{2}{3}}<x<{\dfrac{1}{3}} ,\end{cases} $ 得\[ -{\dfrac{2}{3}}<x<{\dfrac{1}{3}} .\]
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若 $ g\left(x\right) $ 是以 $ 2 $ 为周期的偶函数，且当 $ 0\leqslant x\leqslant 1 $ 时，有 $ g\left(x\right)=f\left(x\right) $，求函数 $ y=g\left(x\right)\left(x\in \left[1,2\right]\right) $ 的反函数．标注答案解析当 $ x\in \left[1,2\right] $ 时，$ 2-x\in \left[0,1\right] $，因此\[ \begin{split}y&=g\left(x\right)\\&=g\left(x-2\right)\\&=g\left(2-x\right)\\&=f\left(2-x\right)\\&=\lg \left(3-x\right). \end{split}\]由单调性可得 $ y\in \left[0,\lg 2\right] $．
因为 $ x=3-10^y $，所以所求反函数是 $ y=3-10^x,x\in \left[0,\lg 2\right] $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
