海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 $ y $ 轴正方向建立平面直角坐标系（以 $ 1 $ 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 $ 12 $ 海里 $ A $ 处，如图．现假设：① 失事船的移动路径可视为抛物线 $ y={\dfrac{12}{49}}x^2 $；② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③ 救援船出发 $ t $ 小时后，失事船所在位置的横坐标为 $ 7t $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $ t=0.5 $ 时，写出失事船所在位置 $ P $ 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；标注答案解析$ t=0.5 $ 时，$ P $ 的横坐标 $ x_P=7t={\dfrac{7}{2}} $，
代入抛物线方程 $ y={\dfrac{12}{49}}x^2 $，得 $ P $ 的纵坐标 $ y_P=3 $．
由 $ |AP|={\dfrac{{\sqrt{949}}}{2}} $，得救援船速度的大小为 $ {\sqrt{949}} $ 海里/时．
由 $ \tan \angle OAP={\dfrac{7}{30}} $，得 $ \angle OAP=\arctan {\dfrac{7}{30}} $，
故救援船速度的方向为北偏东 $ \arctan {\dfrac{7}{30}} $ 弧度． -
问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？标注答案解析设救援船的时速为 $ v $ 海里，经过 $ t $ 小时追上失事船，此时位置为 $ \left(7t,12t^2\right) $．
由 $ vt={\sqrt{\left(7t\right)^2+\left(12t^2+12\right)^2}} $，整理得\[ v^2=144\left( t^2+{\dfrac{1}{t^2}}\right) +337. \]因为 $ t^2+{\dfrac{1}{t^2}}\geqslant 2 $，当且仅当 $ t=1 $ 时等号成立，
所以 $ v^2\geqslant 144\times 2+337=25^2 $，即 $ v\geqslant 25 $．
因此，救援船的时速至少是 $ 25 $ 海里才能追上失事船．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
