题目 对于项数为 $ m $ 的有穷数列 $ \left\{a_n\right\} $，记 $ b_k=\max\limits \left\{a_1,a_2,\cdots,a_k\right\}\left(k=1,2,\cdots,m\right) $，即 $ b_k $ 为 $ a_1,a_2,\cdots,a_k $ 中的最大值，并称数列 $ \left\{b_n\right\} $ 是 $ \left\{a_n\right\} $ 的控制数列．如 $ 1,3,2,5,5 $ 的控制数列是 $ 1,3,3,5,5 $． 问题1 若各项均为正整数的数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的控制数列为 $ 2,3,4,5,5 $，写出所有的 $ \left\{a_n\right\} $； 答案1 解析1 数列 $ \left\{a_n\right\} $ 为：\[\begin{split}&2,3,4,5,1;\\&2,3,4,5,2;\\&2,3,4,5,3;\\ &2,3,4,5,4;\\&2,3,4,5,5.\end{split} \] 备注1 问题2 设 $ \left\{b_n\right\} $ 是 $ \left\{a_n\right\} $ 的控制数列，满足 $ a_k+b_{m-k+1}=C $（$ C $ 为常数，$ k=1,2,\cdots,m $）．求证：$ b_k=a_k\left(k=1,2,\cdots,m\right) $； 答案2 解析2 因为\[\begin{split}b_k &=\max\limits \left\{a_1,a_2,\cdots,a_k\right\} ,\\ b_{k+1}&=\max\limits \left\{a_1,a_2,\cdots,a_k,a_{k+1}\right\},\end{split}\]所以\[ b_{k+1}\geqslant b_k.\]因为\[ \begin{split}a_k+b_{m-k+1}&=C,\\ a_{k+1}+b_{m-k}&=C ,\end{split}\]所以\[ a_{k+1}-a_k=b_{m-k+1}-b_{m-k}\geqslant 0, \]即\[ a_{k+1}\geqslant a_k.\]因此\[ b_k=a_k. \] 备注2 问题3 设 $ m=100 $，常数 $ a\in \left( {\dfrac{1}{2}},1 \right)$．若 $ a_n=an^2-\left(-1\right)^{{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}}n $，$ \left\{b_n\right\} $ 是 $ \left\{a_n\right\} $ 的控制数列，求 $ \left(b_1-a_1\right)+\left(b_2-a_2\right)+\cdots+\left(b_{100}-a_{100}\right) $． 答案3 解析3 对 $ k=1,2,\cdots,25 $，\[ \begin{split} a_{4k-3}&=a\left(4k-3\right)^2+\left(4k-3\right);\\a_{4k-2}&=a\left(4k-2\right)^2+\left(4k-2\right);\\a_{4k-1}&=a\left(4k-1\right)^2-\left(4k-1\right);\\a_{4k}&=a\left(4k\right)^2-\left(4k\right).\end{split}\]比较大小，可得\[ a_{4k-2}>a_{4k-3}.\]因为 $ {\dfrac{1}{2}}<a<1 $，所以\[ a_{4k-1}-a_{4k-2}=\left(a-1\right)\left(8k-3\right)<0, \]即\[ a_{4k-2}>a_{4k-1 };\]所以\[ a_{4k}-a_{4k-2}=2\left(2a-1\right)\left(4k-1\right)>0, \]即\[ a_{4k}>a_{4k-2}. \]又 $ a_{4k+1}>a_{4k} $，从而\[ b_{4k-3}=a_{4k-3},\\b_{4k-2}=a_{4k-2},\\b_{4k-1}=a_{4k-2},\\b_{4k}=a_{4k}.\]因此\[ \begin{split}\left(b_1-a_1\right)+\left(b_2-a_2\right)+\cdots+\left(b_{100}-a_{100}\right)&=\left(a_2-a_3\right)+\left(a_6-a_7\right)+\cdots+\left(a_{98}-a_{99}\right)\\&=\sum^{ 25}_{ k=1} \left(a_{4k-2}-a_{4k-1}\right)\\&=\left(1-a\right)\sum ^{25}_{ k=1} \left(8k-3\right)\\&=2 525\left(1-a\right). \end{split}\] 备注3