题目 已知数列 $ \left\{a_n\right\} $ 中，$ a_1=1 $，前 $ n $ 项和 $ S_n={\dfrac{n+2}{3}}a_n $． 问题1 求 $ a_2$，$a_3 $； 答案1 解析1 由 $ S_2={\dfrac{4}{3}}a_2 $ 得 $ 3\left(a_1+a_2\right)=4a_2 $，解得\[ a_2=3a_1=3;\]由 $ S_3={\dfrac{5}{3}}a_3 $ 得 $ 3\left(a_1+a_2+a_3\right)=5a_3 $，解得\[ a_3={\dfrac{3}{2}}\left(a_1+a_2\right)=6.\] 备注1 问题2 求 $ \left\{a_n\right\} $ 的通项公式． 答案2 解析2 由题设知 $ a_1=1 $．当 $ n\geqslant 2 $ 时，有\[ \begin{split}a_n&=S_n-S_{n-1}\\&={\dfrac{n+2}{3}}a_n-{\dfrac{n+1}{3}}a_{n-1},\end{split}\]整理得\[ a_n={\dfrac{n+1}{n-1}}a_{n-1}. \]于是\[ \begin{split}a _1&=1,\\a_2&={\dfrac{3}{1}}a_1,\\a_3&={\dfrac{4}{2}}a_2,\\ &\cdots ,\\a_{n-1}&={\dfrac{n}{n-2}}a_{n-2},\\a_n&={\dfrac{n+1}{n-1}}a_{n-1}.\end{split} \]将以上 $ n-1 $ 个等式两端分别相乘，整理得\[ a_n={\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}}.\]当 $n=1$ 时，满足通项公式，综上，$ \left\{a_n\right\} $ 的通项公式\[ a_n={\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}}.\] 备注2