题目 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 $ 10 $ 平前，一方连续发球 $ 2 $ 次后，对方再连续发球 $ 2 $ 次，依次轮换．每次发球，胜方得 $ 1 $ 分，负方得 $ 0 $ 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 $ 1 $ 分的概率为 $0 .6 $，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球． 问题1 求开始第 $ 4 $ 次发球时，甲、乙的比分为 $ 1 $ 比 $ 2 $ 的概率； 答案1 解析1 记 $ A_i $ 表示事件：第 $ 1 $ 次和第 $ 2 $ 次这两次发球，甲共得 $ i $ 分，$ i=0,1,2 $；<br/>$ B_i $ 表示事件：第 $ 3 $ 次和第 $ 4 $ 次这两次发球，甲共得 $ i $ 分，$ i=0,1,2 $；<br/>$ A $ 表示事件：第 $ 3 $ 次发球，甲得 $ 1 $ 分；<br/>$ B $ 表示事件：开始第 $ 4 $ 次发球时，甲、乙的比分为 $ 1 $ 比 $ 2 $；\[\begin{split}& B=A_0\cdot A+A_1\cdot \overline A,\\ &P\left(A\right)=0.4,\\& P\left(A_0\right)=0.4^2=0.16,\\&P\left(A_1\right)=2\times 0.6\times 0.4=0.48,\\&P\left(B\right) =P\left(A_0\cdot A+A_1\cdot \overline A\right)\\&=P\left(A_0\cdot A\right)+P\left(A_1\cdot \overline A\right)\\&=P\left(A_0\right)P\left(A\right)+P\left(A_1\right)P\left(\overline A\right)\\&=0.16\times 0.4+0.48\times \left(1-0.4\right)=0.352.\end{split} \] 备注1 问题2 求开始第 $ 5 $ 次发球时，甲得分领先的概率． 答案2 解析2 设 $ C $ 表示事件：开始第 $ 5 $ 次发球时，甲得分领先．\[ \begin{split}& P\left(B_0\right)=0.6^2=0.36,\\ & P\left(B_1\right)=2×0.4×0.6=0.48,<br/>\\ & P\left(B_2\right)=0.4^2=0.16,\\&P\left(A_2\right)=0.6^2=0.36.\\&C=A_1·B_2+A_2·B_1+A_2·B_2.<br/>\\ & P\left(C\right) =P\left(A_1·B_2+A_2·B_1+A_2·B_2\right)<br/>\\ & =P\left(A_1·B_2\right)+P\left(A_2·B_1\right)+P\left(A_2·B_2\right)<br/>\\ & =P\left(A_1\right)P\left(B_2\right)+P\left(A_2\right)P\left(B_1\right)+P\left(A_2\right)P\left(B_2\right)<br/>\\ & =0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16=0.307 2. \end{split}\] 备注2