已知 $ \left\{a_n\right\} $ 为等差数列，且 $ a_1+a_3=8$，$a_2+a_4=12 $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $ \left\{a_n\right\} $ 的通项公式；标注答案解析设数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的公差为 $ d $，由题意知\[\begin{split}\begin{cases}2a_1+2d =8,\\ 2a_1+4d =12 ,\end{cases}\end{split}\]解得 $ a_1=2$，$d=2 $．所以\[\begin{split}a_n=a_1+\left(n-1\right)d =2+2\left(n-1\right) =2n .\end{split}\]
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记 $ \left\{a_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，若 $ a_1$，$a_k$，$S_{k+2} $ 成等比数列，求正整数 $ k $ 的值．标注答案解析由（1）可得\[ \begin{split}S_n ={\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}} ={\dfrac{n\left(2+2n\right)}{2}} =n\left(n+1\right) .\end{split}\]因为 $ a_1,a_k,S_{k+2} $ 成等比数列，所以\[ a^2_k=a_1S_{k+2 },\]从而\[\left(2k\right)^2=2\left(k+2\right)\left(k+3\right), \]即\[ k^2-5k-6=0, \]解得 $ k=6或k=-1\left(舍去\right) $．因此 $ k=6 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
