因为 $ f\left(x\right)=ax^3+bx+c $，故\[f ′\left(x\right)=3ax^2+b ,\]由于 $ f\left(x\right) $ 在点 $ x=2 $ 处取得极值 $ c-16 $，故有\[ \begin{split}f ′\left(2\right) &=0,\\ f\left(2\right) &=c-16 ,\end{split}\]即\[\begin{split}12a+b &=0,\\ 8a+2b+c&=c-16,\end{split}\]化简得\[ 12a+b=0,4a+b=-8,\]解得\[ a=1,b=-12 .\]

由（1）知\[ \begin{split}f\left(x\right)&=x^3-12x+c,\\ f ′\left(x\right) &=3x^2-12=3\left(x-2\right)\left(x+2\right).\end{split} \]令 $ f ′\left(x\right)=0 $，得\[x_1=-2,x_2=2, \]当 $ x\in \left(-\infty ,-2\right) $ 时，$ f ′\left(x\right)>0 $，故 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(-\infty ,-2\right) $ 上为增函数；
当 $ x\in \left(-2,2\right) $ 时 $ ,f ′\left(x\right)<0 $，故 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(-2,2\right) $ 上为减函数；
当 $ x\in \left(2,+\infty \right) $ 时，$ f ′\left(x\right)>0 $，故 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(2,+\infty \right) $ 上为增函数．
由此可知：
$ f\left(x\right) $ 在 $ x_1=-2 $ 处取得极大值 $ f\left(-2\right)=16+c $，
$ f\left(x\right) $ 在 $ x_2=2 $ 处取得极小值 $ f\left(2\right)=c-16 $．
由题设条件知 $ 16+c=28 $ 得 $ c=12 $．此时\[\begin{split} f\left(-3\right)&=9+c=21,\\ f\left(3\right)&=-9+c=3,\\ f\left(2\right)&=-16+c=-4 ,\end{split}\]因此 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[-3,3\right] $ 上的最小值为 $ f\left(2\right)=-4 $．