甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 $ 3 $ 次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为 $ {\dfrac{1}{3}} $，乙每次投篮投中的概率为 $ {\dfrac{1}{2}} $，且各次投篮互不影响．
【难度】
【出处】
2012年高考重庆卷（文）
【标注】
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求乙获胜的概率；标注答案解析设 ${A_k}$、${B_k}$ 分别表示甲、乙在第 $k $ 次投篮投中，则 $P\left( {A_k} \right) = \dfrac{1}{3}$，$P\left( {B_k} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {k = 1,2,3} \right)$．
记"乙获胜"为事件 $ C $，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知\[ \begin{split}P\left(C\right) &=P\left(\overline A_1B_1\right)+P\left(\overline A_1\overline B_1\overline A_2B_2\right)+P\left(\overline A_1\overline B_1\overline A_2\overline B_2\overline A_3B_3\right) \\&=P\left(\overline A_1\right)P\left(B_1\right)+P\left(\overline A_1\right)P\left(\overline B_1\right)P\left(\overline A_2\right)P\left(B_2\right)\\&+
P\left(\overline A_1\right)P\left(\overline B_1\right)P\left(\overline A_2\right)P\left(\overline B_2\right)P\left(\overline A_3\right)P\left(B_3\right) \\&= \dfrac{2}{3} \times \frac{1}{2} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{13}{27}. \end{split} \] -
求投篮结束时乙只投了 $ 2 $ 个球的概率．标注答案解析设"投篮结束时乙只投了 $ 2 $ 个球"为事件 $ D $，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知\[\begin{split} P\left(D\right) &=P\left(\overline A_1\overline B_1\overline A_2B_2\right)+P\left(\overline A_1\overline B_1\overline A_2\overline B_2A_3\right) \\&=P\left(\overline A_1\right)P\left(\overline B_1\right)P\left(\overline A_2\right)P\left(B_2\right)+
P\left(\overline A_1\right)P\left(\overline B_1\right)P\left(\overline A_2\right)P\left(\overline B_2\right)P\left(A_3\right) \\&={\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
