设抛物线 $ C:x^2=2py\left(p>0\right) $ 的焦点为 $ F $，准线为 $ l$，$ A $ 为 $ C $ 上一点，已知以 $ F $ 为圆心，$ FA $ 为半径的圆 $ F $ 交 $ l $ 于 $ B$，$D$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $ \angle BFD=90^\circ$，$\triangle ABD $ 的面积为 $ 4{\sqrt{2}} $，求 $ p $ 的值及圆 $ F $ 的方程；标注答案$ p=-2$，圆 $ F $ 的方程为 $x^2+\left(y-1\right)^2=8 $．解析由已知可得 $ \triangle BFD $ 为等腰直角三角形，
$ |BD|=2p $，圆 $ F $ 的半径 $ |FA|={\sqrt{2}}p $．
由抛物线定义可知 $ A $ 到 $ l $ 的距离 $d=|FA|={\sqrt{2}}p $．
因为 $ \triangle ABD $ 的面积为 $ 4{\sqrt{2}} $，所以\[\dfrac{1}{2}|BD|\cdot d=4\sqrt{2} ,\]即\[ {\dfrac{1}{2}}\cdot 2p\cdot {\sqrt{2}}p=4{\sqrt{2}} ,\]解得 $ p=-2\left(舍去\right)或p= 2 $，
所以 $ F\left(0,1\right) $，圆 $ F $ 的方程为\[ x^2+\left(y-1\right)^2=8 .\] -
若 $ A$，$B$，$F $ 三点在同一直线 $ m $ 上，直线 $ n $ 与 $ m $ 平行，且 $ n $ 与 $ C $ 只有一个公共点，求坐标原点到 $ m$，$n $ 距离的比值．标注答案$ 3$解析因为 $ A$，$B$，$F$ 三点在同一直线 $ m $ 上，
所以 $ AB $ 为圆 $ F $ 的直径，$ \angle ADB=90^\circ $．由抛物线定义知\[ |AD|=|FA|={\dfrac{1}{2}}|AB| ,\]所以 $ \angle ABD=30^\circ $，$ m $ 的斜率为 $ {\dfrac{{\sqrt{3}}}{3}}$ 或 $-{\dfrac{{\sqrt{3}}}{3}} $．
当 $ m $ 的斜率为 $ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ 时，由已知可设 $ n:y={\dfrac{{\sqrt{3}}}{3}}x+b $，
代入 $ x^2=2py $ 得\[ x^2-{\dfrac{2{\sqrt{3}}}{3}}px-2pb=0 ,\]由于 $ n $ 与 $ C $ 只有一个公共点，故\[ \Delta ={\dfrac{4}{3}}p^2+8pb=0, \]解得 $ b=-\dfrac{p}{6} $．
因为 $ m $ 在 $ y $ 轴上的截距 $ b_1=\dfrac{p}{2}$，$\dfrac{|b_1|}{|b|}=3 $，所以坐标原点到 $ m$，$n $ 距离的比值为 $ 3 $．
当 $ m $ 的斜率为 $ -\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ 时，由图形对称性可知，坐标原点到 $ m$，$n $ 距离的比值也为 $ 3 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
