已知曲线 $ C_1 $ 的参数方程是 $ \begin{cases} x=2\cos \varphi ,\\ y=3\sin \varphi,\end{cases} \left(\varphi 为参数\right) $，以坐标原点为极点，$ x $ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $ C_2 $ 的极坐标方程是 $ \rho =2 $，正方形 $ ABCD $ 的顶点都在 $ C_2 $ 上，且 $ A,B,C,D $ 依逆时针次序排列，点 $ A $ 的极坐标为 $ \left( 2,\dfrac{\mathrm \pi }{3} \right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求点 $ A,B,C,D $ 的直角坐标；标注答案解析由已知可得
$ A\left( 2\cos \dfrac{{\mathrm \pi } }{3} ,2\sin {\dfrac{{\mathrm \pi } }{3}} \right) $，
$ B\left( 2\cos \left( {\dfrac{{\mathrm \pi } }{3}}+{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}} \right),2\sin \left({\dfrac{{\mathrm \pi } }{3}}+{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}}\right)\right) $，
$ C \left(2\cos \left({\dfrac{{\mathrm \pi } }{3}}+\mathrm \pi \right),2\sin \left( {\dfrac{{\mathrm \pi } }{3}}+\mathrm \pi \right)\right) $，
$ D \left(2\cos \left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3}}+{\dfrac{3{\mathrm \pi } }{2}} \right),2\sin \left( {\dfrac{{\mathrm \pi } }{3}}+{\dfrac{3{\mathrm \pi } }{2}}\right)\right) $，
即 $ A\left(1,,{\sqrt{3}}\right),B\left(-{\sqrt{3}},1\right),C\left(-1,-{\sqrt{3}}\right),D\left({\sqrt{3}},-1\right) $． -
设 $ P $ 为 $ C_1 $ 上任意一点，求 $ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2 $ 的取值范围．标注答案解析设 $ P\left(2\cos \varphi ,3\sin \varphi \right) $，令\[S=|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2 ,\]则\[ \begin{split}S&=16\cos ^2\varphi +36\sin ^2\varphi +16\\&=32+20\sin ^2\varphi ,\end{split} \]因为 $ 0\leqslant \sin ^2\varphi \leqslant 1 $，所以 $ S $ 的取值范围是 $ \left[32,52\right] $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
