题目 有 $ 4 $ 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 $ 1 $ 或 $ 2 $ 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 $ 2 $ 的人去参加乙游戏． 问题1 求这 $ 4 $ 个人中恰有 $ 2 $ 人去参加甲游戏的概率： 答案1 解析1 依题意，这 $ 4 $ 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 $ {\dfrac{1}{3}} $，去参加乙游戏的概率为 $ {\dfrac{2}{3}} $．<br/>设“这 $ 4 $ 个人中恰有 $ i $ 人去参加甲游戏”为事件 $ A_i\left(i=0,1,2,3,4\right) $，则\[ P\left(A_i\right)={\mathrm{C}}^i_4\left( {\dfrac{1}{3}}\right)^ i \left({\dfrac{2}{3}}\right) ^{4-i}. \]所以这 $ 4 $ 个人中恰有 $ 2 $ 人去参加甲游戏的概率\[ P\left(A_2\right)={\mathrm{C}}^2_4\left( {\dfrac{1}{3}}\right)^ 2 \left({\dfrac{2}{3}}\right)^ 2={\dfrac{8}{27}}. \] 备注1 问题2 求这 $ 4 $ 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： 答案2 解析2 设“这 $ 4 $ 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 $ B $，则 $ B=A_3\cup A_4 $．<br/>由于 $ A_3 $ 与 $ A_4 $ 互斥，故\[ \begin{split}P\left(B\right)&=P\left(A_3\right)+P\left(A_4\right)\\&={\mathrm{C}}^3_4\left( {\dfrac{1}{3}}\right)^ 3 {\dfrac{2}{3}} +{\mathrm{C}}^4_4 \left({\dfrac{1}{3}}\right)^ 4\\&={\dfrac{1}{9}}. \end{split}\]所以，这 $ 4 $ 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 $ {\dfrac{1}{9}} $． 备注2 问题3 用 $X,Y$ 分别表示这 $ 4 $ 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 $\xi { = | }X - Y{ | }$，求随机变量 $\xi $ 的分布列与数学期望 $E\xi $． 答案3 解析3 $ \xi $ 的所有可能取值为 $ 0,2,4 $．<br/>由于 $ A_1 $ 与 $ A_3 $ 互斥，$ A_0 $ 与 $ A_4 $ 互斥，故\[ \begin{split}P\left(\xi =0\right)&=P\left(A_2\right)={\dfrac{8}{27}},\\ P\left(\xi =2\right)&=P\left(A_1\right)+P\left(A_3\right)={\dfrac{40}{81}},\\P\left(\xi =4\right)&=P\left(A_0\right)+P\left(A_4\right)={\dfrac{17}{81}}.\end{split} \]所以 $ \xi $ 的分布列是\[ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>\xi & 0& 2& 4\\ \hline<br/>P &{\dfrac{8}{27}} &{\dfrac{40}{81}}& {\dfrac{17}{81}}\\ \hline\end{array} \]随机变量 $ \xi $ 的数学期望\[ \begin{split}E\xi &=0\times {\dfrac{8}{27}}+2\times {\dfrac{40}{81}}+4\times {\dfrac{17}{81}}\\&={\dfrac{148}{81}}.\end{split} \] 备注3