设椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 $ $\left( a > b > 0 \right) $ 的左、右顶点分别为 $A$，$B$，点 $P$ 在椭圆上且异于 $A$，$B$ 两点，$O$ 为坐标原点．
【难度】
【出处】
2012年高考天津卷（理）
【标注】
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若直线 $AP$ 与 $BP$ 的斜率之积为 $ - \dfrac{1}{2}$，求椭圆的离心率；标注答案解析设点 $ P $ 的坐标为 $ \left(x_0,y_0\right) $．
由题意，有\[ {\dfrac{x^2_0}{a^2}}+{\dfrac{y^2_0}{b^2}}=1. \quad \cdots \cdots ① \]由 $ A\left(-a,0\right)$，$B\left(a,0\right) $，得\[ k_{AP}={\dfrac{y_0}{x_0+a}},k_{BP}={\dfrac{y_0}{x_0-a}}.\]由 $ k_{AP}\cdot k_{BP}=-{\dfrac{1}{2}} $，可得 $ x^2_0=a^2-2y^2_0$，代入 ① 并整理得\[ \left(a^2-2b^2\right)y^2_0=0. \]由于 $y_0\neq 0 $，故 $ a^2=2b^2$．于是\[ {e}^2={\dfrac{a^2-b^2}{a^2}}={\dfrac{1}{2}}, \]所以椭圆的离心率 $ {e}={\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}$． -
若 $ | AP | = | OA | $，证明直线 $OP$ 的斜率 $k$ 满足 $ | k | > \sqrt 3 $．标注答案解析证法一：依题意，直线 $ OP $ 的方程为 $ y=kx $，设点 $ P $ 的坐标为 $ \left(x_0,y_0\right) $．
由条件得\[ \begin{cases}y_0=kx_0,\\ {\dfrac{x^2_0}{a^2}}+{\dfrac{y^2_0}{b^2}}=1, \end{cases} \]消去 $ y_0 $ 并整理得\[ x^2_0={\dfrac{a^2b^2}{k^2a^2+b^2}}. \quad \cdots \cdots ② \]由 $ |AP|=|OA|$，$A\left(-a,0\right) $ 及 $ y_0=kx_0 $，得\[ \left(x_0+a\right)^2+k^2x^2_0=a^2, \]整理得\[ \left(1+k^2\right)x^2_0+2ax_0=0. \]而 $ x_0\neq 0 $，于是 $ x_0={\dfrac{-2a}{1+k^2}}$，代入 ②，整理得\[ \left(1+k^2\right)^2=4k^2 \left({\dfrac{a}{b}}\right)^ 2+4. \]由 $ a>b>0 $，故 $ \left(1+k^2\right)^2>4k^2+4 $，即 $ k^2+1>4 $，
因此 $ k^2>3 $，所以 $ |k|>{\sqrt{3}}$．
证法二：依题意，直线 $ OP $ 的方程为 $ y=kx $，
可设点 $ P $ 的坐标为 $ \left(x_0,kx_0\right) $．由点 $ P $ 在椭圆上，有\[ {\dfrac{x^2_0}{a^2}}+{\dfrac{k^2x^2_0}{b^2}}=1. \]因为 $ a>b>0$，$kx_0\neq 0 $，所以\[{ \dfrac{x^2_0}{a^2}}+{\dfrac{k^2x^2_0}{a^2}}<1,\]即\[\left(1+k^2\right)x^2_0<a^2. \quad \cdots \cdots ③ \]由 $ |AP|=|OA|$，$A\left(-a,0\right) $，得\[ \left(x_0+a\right)^2+k^2x^2_0=a^2, \]整理得\[ \left(1+k^2\right)x^2_0+2ax_0=0, \]于是 $ x_0={\dfrac{-2a}{1+k^2}}$，代入 ③，得\[ \left(1+k^2\right){\dfrac{4a^2}{\left(1+k^2\right)^2}}<a^2, \]解得 $ k^2>3$，所以 $ |k|>{\sqrt{3}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
