题目 已知向量 $\vec m = \left(\sin x , 1\right)$，$\vec n = \left( {\sqrt 3 A\cos x , \dfrac{A}{2}\cos 2x} \right)$ $\left(A > 0\right)$，函数 $f\left(x\right) = \vec m \cdot \vec n $ 的最大值为 $ 6 $． 问题1 求 $A$； 答案1 解析1 由题意得\[ \begin{split}f\left(x\right)& =\vec m\cdot \vec n\\&={\sqrt{3}}A\sin x\cos x+{\dfrac{A}{2}}\cos 2x\\&=A( {\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}\sin 2x+{\dfrac{1}{2}}\cos 2x) \\&=A\sin (2x+{\dfrac{\pi }{6}}) .\end{split} \]因为 $ A>0 $，由题意知 $ A=6 $． 备注1 问题2 将函数 $y = f\left(x\right)$ 的图象向左平移 $\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{{12}}$ 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g\left(x\right)$ 的图象，求 $g\left(x\right)$ 在 $\left[ {0,\dfrac{{5{\mathrm{\pi }}}}{{24}}} \right]$ 上的值域． 答案2 解析2 由（1）$ f\left(x\right)=6\sin \left(2x+{\dfrac{\pi }{6}}\right) $．<br/>将函数 $ y=f\left(x\right) $ 的图象向左平移 $ {\dfrac{\pi }{12}} $ 个单位后得到 $ y=6\sin \left[2 \left(x+{\dfrac{\pi }{12}} \right)+{\dfrac{\pi }{6}} \right]=6\sin \left( 2x+{\dfrac{\pi }{3}} \right) $ 的图象；<br/>再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的 $ {\dfrac{1}{2}} $ 倍，纵坐标不变，得到 $ y=6\sin \left(4x+{\dfrac{\pi }{3}}\right) $ 的图象．<br/>因此 $ g\left(x\right)=6\sin \left( 4x+{\dfrac{\pi }{3}}\right) $．<br/>因为 $ x\in \left[ 0,{\dfrac{5\pi }{24}} \right]$，所以 $ 4x+{\dfrac{\pi }{3}}\in \left[{\dfrac{\pi }{3}},{\dfrac{7\pi }{6}} \right]$，<br/>故 $ g\left(x\right) $ 在 $ \left[ 0,{\dfrac{5\pi }{24}} \right] $ 上的值域为 $ \left[-3,6\right] $． 备注2