题目

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现有甲乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为 $\dfrac{3}{4}$，命中得 $ 1 $ 分，没有命中得 $ 0 $ 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 $\dfrac{2}{3}$，每命中一次得 $ 2 $ 分，没有命中得 $ 0 $ 分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击．

【难度】

【出处】

2012年高考山东卷（理）

【标注】

求该射手恰好命中一次的概率；
标注
答案

解析

记“该射手恰好命中一次”为事件 $ A $，“该射手射击甲靶命中”为事件 $ B $，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件 $ C $，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 $ D $，
由题意知 $ P\left(B\right)={\dfrac{3}{4}} $，$ P\left(C\right)=P\left(D\right)={\dfrac{2}{3}} $，由于 $ A=B\overline C \overline D +\overline B C\overline D + \overline B \overline CD $，
根据事件的独立性和互斥性得\[\begin{split} P\left(A\right) &=P\left(B\overline C \overline D +\overline B C\overline D + \overline B \overline CD \right)=P\left(B\overline C \overline D\right)+P\left(\overline B C\overline D \right)+P\left(\overline B \overline CD\right)\\&= P\left(B\right)P\left(\overline C \right)P\left(\overline D \right)+P\left(\overline B \right)P\left(C\right)P\left(\overline D \right)+P\left(\overline B \right)P\left(\overline C \right)P\left(D\right)
\\&={\dfrac{7}{36}}.\end{split} \]
求该射手的总得分 $X$ 的分布列及数学期望 $EX$．
标注
答案

解析

根据题意，$ X $ 的所有可能取值为 $ 0,1,2,3,4,5 $，根据事件的独立性和互斥性得\[ \begin{split}P\left(X=0\right) &=P\left( \overline B \overline C \overline D \right) =\left[1-P\left(B\right)\right]\left[1-P\left(C\right)\right]\left[1-P\left(D\right)\right]={\dfrac{1}{36}},\\ P\left(X=1\right) &=P\left(B \overline C \overline D \right)=P\left(B\right)P\left( \overline C \right)P\left( \overline D \right) ={\dfrac{1}{12}},\\ P\left(X=2\right) &=P\left( \overline B C \overline D + \overline B \overline C D\right)=P\left( \overline B C \overline D \right)+P\left( \overline B \overline C D\right)={\dfrac{1}{9}},\\ P\left(X=3\right) &=P\left( BC \overline D + B \overline C D\right)=P\left( BC \overline D \right)+P\left( B \overline C D\right) ={\dfrac{1}{3}},\\ P\left(X=4\right)&=P\left( \overline B CD\right)={\dfrac{1}{9}},\\P\left(X=5\right)&=P\left(BCD\right)={\dfrac{1}{3}}.\end{split}\]故 $ X $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
X &0 &1 &2& 3 &4 &5 \\ \hline
P &{\dfrac{1}{36}} &{\dfrac{1}{12}}& {\dfrac{1}{9}} &{\dfrac{1}{3}} &{\dfrac{1}{9}} &{\dfrac{1}{3}}\\ \hline
\end{array}\]所以\[ EX =0\times {\dfrac{1}{36}}+1\times {\dfrac{1}{12}}+2\times {\dfrac{1}{9}}+3\times {\dfrac{1}{3}}+4\times {\dfrac{1}{9}}+5\times {\dfrac{1}{3}}={\dfrac{41}{12}}. \]

题目问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2

根据题意，$ X $ 的所有可能取值为 $ 0,1,2,3,4,5 $，根据事件的独立性和互斥性得\[ \begin{split}P\left(X=0\right) &=P\left( \overline B \overline C \overline D \right) =\left[1-P\left(B\right)\right]\left[1-P\left(C\right)\right]\left[1-P\left(D\right)\right]={\dfrac{1}{36}},\\ P\left(X=1\right) &=P\left(B \overline C \overline D \right)=P\left(B\right)P\left( \overline C \right)P\left( \overline D \right) ={\dfrac{1}{12}},\\ P\left(X=2\right) &=P\left( \overline B C \overline D + \overline B \overline C D\right)=P\left( \overline B C \overline D \right)+P\left( \overline B \overline C D\right)={\dfrac{1}{9}},\\ P\left(X=3\right) &=P\left( BC \overline D + B \overline C D\right)=P\left( BC \overline D \right)+P\left( B \overline C D\right) ={\dfrac{1}{3}},\\ P\left(X=4\right)&=P\left( \overline B CD\right)={\dfrac{1}{9}},\\P\left(X=5\right)&=P\left(BCD\right)={\dfrac{1}{3}}.\end{split}\]故 $ X $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline<br/>X &0 &1 &2& 3 &4 &5 \\ \hline<br/>P &{\dfrac{1}{36}} &{\dfrac{1}{12}}& {\dfrac{1}{9}} &{\dfrac{1}{3}} &{\dfrac{1}{9}} &{\dfrac{1}{3}}\\ \hline<br/>\end{array}\]所以\[ EX =0\times {\dfrac{1}{36}}+1\times {\dfrac{1}{12}}+2\times {\dfrac{1}{9}}+3\times {\dfrac{1}{3}}+4\times {\dfrac{1}{9}}+5\times {\dfrac{1}{3}}={\dfrac{41}{12}}. \]