题目 已知函数 $f\left( x \right) = a{x^2} + 1\left( {a > 0} \right)$，$g\left( x \right) = {x^3} + bx$． 问题1 若曲线 $y = f\left( x \right)$ 与曲线 $y = g\left( x \right)$ 在它们的交点 $\left( {1,c} \right)$ 处具有公共切线，求 $a$，$b$ 的值； 答案1 解析1 由\[ \begin{split}f ′\left(x\right)&=2ax,\\g′\left(x\right)&=3x^2+b.\end{split} \]因为曲线 $ y=f\left(x\right) $ 与曲线 $ y=g\left(x\right) $ 在它们的交点 $ \left(1,c\right) $ 处具有公共切线，<br/>所以 $ f\left(1\right)=g\left(1\right) $，且 $ f ′\left(1\right)=g′\left(1\right) $．<br/>即\[ a+1=1+b ,\]且\[2a=3+b.\]解得\[ a=3,b=3. \] 备注1 问题2 当 $a = 3$，$b = - 9$ 时，若函数 $f\left( x \right) + g\left( x \right)$ 在区间 $\left[ {k , 2} \right]$ 上的最大值为 $28$，求 $k$ 的取值范围． 答案2 解析2 记\[ h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right) .\]当 $ a=3,b=-9 $ 时，\[ \begin{split}h\left(x\right)&=x^3+3x^2-9x+1,\\ h′\left(x\right)&=3x^2+6x-9.\end{split}\]令 $ h′\left(x\right)=0 $，得\[ x_1=-3,x_2=1. \]$ h\left(x\right) $ 与 $ h′\left(x\right) $ 在 $ \left(-\infty ,2\right] $ 上的情况如下：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline<br/>x &\left(-\infty,-3\right)& -3 &\left(-3,1\right)& 1& \left(1,2\right)& 2\\ \hline<br/>h′\left(x\right)&+ &0& - &0& +&\\ \hline<br/>h\left(x\right)&↗& 28&↘& -4&↗& 3\\ \hline\end{array} \]由此可知：<br/>当 $ k\leqslant -3 $ 时，函数 $ h\left(x\right) $ 在区间［ $ k,2］ $ 上的最大值为 $ h\left(-3\right)=28 $；<br/>当 $ -3<k<2 $ 时，函数 $ h\left(x\right) $ 在区间 $ ［k,2］ $ 上的最大值小于 $ 28 $．<br/>因此，$ k $ 的取值范围是 $ \left( - \infty ,-3\right] $． 备注2