题目 设 $A$ 是如下形式的 $ 2 $ 行 $ 3 $ 列的数表，\[ \begin{array}{|c|c|c|}\hline<br/>a&b&c\\ \hline<br/>d& e &f\\ \hline<br/>\end{array} \]满足性质 $P$：$ a $，$ b $，$ c $，$ d $，$ e $，$ f \in \left[ { - 1 , 1} \right]$，且 $a + b + c + d + e + f = 0$．记 ${r_i}\left( A \right)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和 $\left( {i = 1 , 2} \right)$，${c_j}\left( A \right)$ 为第 $j$ 列各数之和 $\left( {j = 1 , 2 , 3} \right)$；记 $k\left( A \right)$ 为 $\left| {{r_1}\left( A \right)} \right|$，$\left| {{r_2}\left( A \right)} \right|$，$\left| {{c_1}\left( A \right)} \right|$，$\left| {{c_2}\left( A \right)} \right|$，$\left| {{c_3}\left( A \right)} \right|$ 中的最小值． 问题1 对如下数表 $A$，求 $k\left( A \right)$ 的值；\[ \begin{array}{|c|c|c|}\hline<br/>1&1&-0.8\\ \hline<br/>0.1&-0.3&-1\\ \hline<br/>\end{array} \] 答案1 解析1 因为\[\begin{split} &r_1\left(A\right)=1.2,r_2\left(A\right)=-1.2,\\ &c_1\left(A\right)=1.1,c_2\left(A\right)=0.7,c_3\left(A\right)=-1.8,\end{split} \]所以\[ k\left(A\right)=0.7. \] 备注1 问题2 设数表 $A$ 形如\[ \begin{array}{|c|c|c|}\hline<br/>1&1&-1-2d\\ \hline<br/>d&d&-1\\ \hline\end{array} \]其中 $ - 1 \leqslant d \leqslant 0$．求 $k\left( A \right)$ 的最大值； 答案2 解析2 \[\begin{split} &r_1\left(A\right)=1-2d,r_2\left(A\right)=-1+2d,\\ &c_1\left(A\right)=c_2\left(A\right)=1+d,c_3\left(A\right)=-2-2d.\end{split} \]因为 $ -1\leqslant d\leqslant 0 $，所以\[ \begin{split}&|r_1\left(A\right)|=|r_2\left(A\right)|\geqslant 1+d\geqslant 0,\\ &|c_3\left(A\right)|\geqslant 1+d\geqslant 0.\end{split}\]所以\[ k\left(A\right)=1+d\leqslant 1. \]当 $ d=0 $ 时，$ k\left(A\right) $ 取得最大值 $ 1 $． 备注2 问题3 对所有满足性质 $P$ 的 $ 2 $ 行 $ 3 $ 列的数表 $A$，求 $k\left( A \right)$ 的最大值． 答案3 解析3 任给满足性质 $ P $ 的数表 $ A $（如下所示）．\[ \begin{array}{|c|c|c|}\hline<br/>a&b&c\\ \hline<br/>d& e &f\\ \hline<br/>\end{array} \]任意改变 $ A $ 的行次序或列次序，或把 $ A $ 中的每个数换成它的相反数，所得数表 $ A^* $ 仍满足性质 $ P $，<br/>并且 $ k\left(A\right)=k\left(A^*\right) $．因此，不妨设 $ r_1\left(A\right)\geqslant 0$，$c_1\left(A\right)\geqslant 0$，$c_2\left(A\right)\geqslant 0 $．<br/>由 $ k\left(A\right) $ 的定义知，\[ k\left(A\right)\leqslant r_1\left(A\right),k\left(A\right)\leqslant c_1\left(A\right),k\left(A\right)\leqslant c_2\left(A\right). \]从而\[\begin{split} 3k\left(A\right) &\leqslant r_1\left(A\right)+c_1\left(A\right)+c_2\left(A\right)\\&=\left(a+b+c\right)+\left(a+d\right)+\left(b+e\right)\\&=\left(a+b+c+d+e+f\right)+\left(a+b-f\right)\\&=a+b-f\\&\leqslant 3. \end{split} \]所以 $ k\left(A\right)\leqslant 1 $．<br/>由（2）知，存在满足性质 $ P $ 的数表 $ A $ 使 $ k\left(A\right)=1 $．<br/>故 $ k\left(A\right) $ 的最大值为 $ 1 $． 备注3