某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）$ A $ 和 $ B $，系统 $ A $ 和系统 $ B $ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $ {\dfrac{1}{10}} $ 和 $ p $．
【难度】
【出处】
2012年高考四川卷（文）
【标注】
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若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $ {\dfrac{49}{50}} $，求 $ p $ 的值；标注答案$p={\dfrac{1}{5}}$．解析设"至少有一个系统不发生故障"为事件 $ C $，那么\[ 1-P\left(\overline C \right)=1-{\dfrac{1}{10}}\cdot p={\dfrac{49}{50}}, \]解得 $p={\dfrac{1}{5}}$．
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求系统 $ A $ 在 $ 3 $ 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．标注答案系统 $ A $ 在 $ 3 $ 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为 $ {\dfrac{243}{250}} $．解析设"系统 $ A $ 在 $ 3 $ 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数"为事件 $ D $，那么\[ \begin{split} P\left(D\right)&={\mathrm {C}}^2_3{\dfrac{1}{10}}\cdot \left(1-{\dfrac{1}{10}}\right)^ 2+ \left(1-{\dfrac{1}{10}} \right)^3\\&={\dfrac{972}{1 000}}={\dfrac{243}{250}}. \end{split} \]答：系统 $ A $ 在 $ 3 $ 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为 $ {\dfrac{243}{250}} $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
