已知函数 $ f\left(x\right)=\cos ^2{\dfrac{x}{2}}-\sin {\dfrac{x}{2}}\cos {\dfrac{x}{2}}-{\dfrac{1}{2}} $．
【难度】
【出处】
2012年高考四川卷（文）
【标注】
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求函数 $ f\left(x\right) $ 的最小正周期和值域；标注答案解析由已知\[ \begin{split} f\left(x\right) &=\cos ^2{\dfrac{x}{2}}-\sin {\dfrac{x}{2}}\cos {\dfrac{x}{2}}-{\dfrac{1}{2}}\\&={\dfrac{1}{2}}\left(1+\cos x\right)-{\dfrac{1}{2}}\sin x-{\dfrac{1}{2}}\\&={\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}\cos \left(x+{\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}}\right) . \end{split} \]所以 $ f\left(x\right) $ 的最小正周期为 $ 2{\mathrm{\pi }}$，值域为 $ \left[ -{\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}} ,{\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}} \right]$．
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若 $ f\left(\alpha \right)={\dfrac{3{\sqrt{2}}}{10}} $，求 $ \sin 2\alpha $ 的值．标注答案解析由（1）知，\[ f\left(\alpha \right)={\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}\cos \left(\alpha +{\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}} \right)={\dfrac{3{\sqrt{2}}}{10}} ,\]所以\[ \cos \left( \alpha +{\dfrac{ {\mathrm{\pi }}}{4}}\right) ={\dfrac{3}{5}} .\]所以\[ \begin{split}\sin 2\alpha &=-\cos \left({\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}}+2\alpha\right)=-\cos 2 \left(\alpha +{\dfrac{\pi }{4}}\right)\\&=1-2\cos ^2\left( \alpha +{\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}} \right)\\&=1-{\dfrac{18}{25}}={\dfrac{7}{25}}.\end{split} \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
