已知数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，常数 $ \lambda >0 $，且 $ \lambda a_1a_n=S_1+S_n $ 对一切正整数 $ n $ 都成立．
【难度】
【出处】
2012年高考四川卷（文）
【标注】
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求数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的通项公式；标注答案解析取 $ n=1 $，得\[ \lambda a^2_1=2S_1=2a_1,\\a_1\left(\lambda a_1-2\right)=0. \]若 $ a_1=0 $，则 $ S_n=0 $．
当 $ n\geqslant 2 $ 时，\[ \begin{split}a_n=S_n-S_{n-1}=0-0=0,\end{split} \]所以\[ a_n=0\left(n\geqslant 1\right). \]若 $ a_1\neq 0 $，则 $ a_1={\dfrac{2}{\lambda }} $．
当 $ n\geqslant 2 $ 时，\[ 2a_n={\dfrac{2}{\lambda }}+S_n,\\2a_{n-1}={\dfrac{2}{\lambda }}+S_{n-1}, \]两式相减得\[ 2a_n-2a_{n-1}=a_n, \]所以\[ a_n=2a_{n-1}\left(n\geqslant 2\right), \]从而数列 $ \left\{a_n\right\} $ 是等比数列．
所以\[ \begin{split}a_n=a_1\cdot 2^{n-1}={\dfrac{2}{\lambda }}\cdot 2^{n-1}={\dfrac{2^n}{\lambda }}.\end{split} \]综上，当 $ a_1=0 $ 时，$ a_n=0 $；当 $ a_1\neq 0 $ 时，$ a_n={\dfrac{2^n}{\lambda }} $． -
设 $ a_1>0,\lambda =100 $．当 $ n $ 为何值时，数列 $ \left\{\lg \dfrac{1}{a_n}\right\} $ 的前 $ n $ 项和最大？标注答案解析当 $ a_1>0 $ 且 $ \lambda =100 $ 时，令 $ b_n=\lg {\dfrac{1}{a_n}} $，
由（1）有\[ b_n=\lg {\dfrac{100}{2^n}}=2-n\lg 2. \]所以数列 $ \left\{b_n\right\} $ 是单调递减的等差数列（公差为 $ -\lg 2 $）．
当 $ n\leqslant 6 $ 时，\[ b_1>b_2>\cdots>b_6=\lg {\dfrac{100}{2^6}}=\lg {\dfrac{100}{64}}>\lg 1=0,\]当 $ n\geqslant 7 $ 时，\[ b_n\leqslant b_7=\lg {\dfrac{100}{2^7}}=\lg {\dfrac{100}{128}}<\lg 1=0,\]故数列 $ \left\{\lg \dfrac{1}{a_n}\right\} $ 的前 $ 6 $ 项的和最大．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
