题目 在 $ \triangle ABC $ 中，内角 $ A$，$B$，$C $ 所对的边分别是 $ a$，$b$，$c $．已知 $ a=2$，$c={\sqrt{2}}$，$\cos A=-{\dfrac{{\sqrt{2}}}{4}} $． 问题1 求 $ \sin C $ 和 $ b $ 的值； 答案1 解析1 在 $ \triangle ABC $ 中，由 $ \cos A=-{\dfrac{{\sqrt{2}}}{4}} $，可得 $ \sin A={\dfrac{{\sqrt{14}}}{4}} $．<br/>又由 $ {\dfrac{a}{\sin A}}={\dfrac{c}{\sin C}} $ 及 $ a=2$，$c={\sqrt{2}} $，可得 $ \sin C={\dfrac{{\sqrt{7}}}{4}} $．<br/>由\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A ,\]得\[ b^2+b-2=0 ,\]因为 $ b>0 $，故解得 $ b=1 $．所以\[ \sin C={\dfrac{{\sqrt{7}}}{4}},b=1. \] 备注1 问题2 求 $ \cos \left(2A+{\dfrac{\mathrm \pi }{3}} \right)$ 的值． 答案2 解析2 由 $ \cos A=-{\dfrac{{\sqrt{2}}}{4}}$，$\sin A={\dfrac{{\sqrt{14}}}{4}} $，得\[\cos 2A=2\cos ^2A-1=-{\dfrac{3}{4}},\]\[\sin 2A=2\sin A\cos A=-{\dfrac{{\sqrt{7}}}{4}}.\]所以\[\cos \left( 2A+{\dfrac{{\mathrm \pi } }{3}} \right)=\cos 2A\cos {\dfrac{{\mathrm \pi } }{3}}-\sin 2A\sin {\dfrac{{\mathrm \pi } }{3}}={\dfrac{-3+{\sqrt{21}}}{8}}.\] 备注2