已知椭圆 $ {\dfrac{x^2}{a^2}}+{\dfrac{y^2}{b^2}}=1\left(a>b>0\right) $，点 $ P \left({\dfrac{{\sqrt{5}}}{5}}a,{\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}a \right)$ 在椭圆上．
【难度】
【出处】
2012年高考天津卷（文）
【标注】
-
求椭圆的离心率；标注答案解析因为点 $ P \left({\dfrac{{\sqrt{5}}}{5}}a,{\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}a\right) $ 在椭圆上，故\[ {\dfrac{a^2}{5a^2}}+{\dfrac{a^2}{2b^2}}=1 ,\]可得\[ {\dfrac{b^2}{a^2}}={\dfrac{5}{8}}. \]于是\[ e^2={\dfrac{a^2-b^2}{a^2}}=1-{\dfrac{b^2}{a^2}}={\dfrac{3}{8}}, \]所以椭圆的离心率 $e={\dfrac{{\sqrt{6}}}{4}}$．
-
设 $ A $ 为椭圆的左顶点，$ O $ 为坐标原点．若点 $ Q $ 在椭圆上且满足 $ |AQ|=|AO| $，求直线 $ OQ $ 的斜率的值．标注答案解析设直线 $ OQ $ 的斜率为 $ k $，则其方程为 $ y=kx $．
设点 $ Q $ 的坐标为 $ \left(x_0,y_0\right) $，由条件得\[ \begin{cases}y_0=kx_0,\\ {\dfrac{x^2_0}{a^2}}+{\dfrac{y^2_0}{b^2}}=1,\end{cases} \]消去 $ y_0 $ 并整理得\[ x^2_0={\dfrac{a^2b^2}{k^2a^2+b^2}}. \quad \cdots \cdots ① \]由 $ |AQ|=|AO|$，$A\left(-a,0\right) $ 及 $ y_0=kx_0 $，得\[ \left(x_0+a\right)^2+k^2x^2_0=a^2. \]整理得\[ \left(1+k^2\right)x^2_0+2ax_0=0 .\]而 $ x_0\neq 0 $，故 $ x_0={\dfrac{-2a}{1+k^2}} $，代入 $ ① $，整理得\[\left(1+k^2\right)^2=4k^2\cdot {\dfrac{a^2}{b^2}}+4.\]由（1）知 $ {\dfrac{a^2}{b^2}}={\dfrac{8}{5}} $，故\[ \left(1+k^2\right)^2={\dfrac{32}{5}}k^2+4 ,\]即\[ 5k^4-22k^2-15=0 ,\]可得 $k^2=5$．所以直线 $ OQ $ 的斜率 $ k=\pm {\sqrt{5}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
