已知等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 满足 ${a_2} = 0$，${a_6} + {a_8} = - 10$．
【难度】
【出处】
2011年高考辽宁卷（理）
【标注】
-
求数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式；标注答案解析设等差数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的公差为 $d$．由已知条件可得\[\begin{cases}
{a_1} + d = 0, \\
2{a_1} + 12d = - 10, \\
\end{cases}\]解得\[\begin{cases}{a_1} = 1,\\
d = - 1, \end{cases}\]故数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式为\[{a_n} = 2 - n.\] -
求数列 $\left\{ {\dfrac{a_n}{{{2^{n - 1}}}}} \right\}$ 的前 $n$ 项和．标注答案解析设数列 $\left\{ {\dfrac{a_n}{{{2^{n - 1}}}}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，即\[{S_n} = {a_1} + \frac{a_2}{2} + \cdots + \frac{a_n}{{{2^{n - 1}}}},\]故\[\begin{split}{S_1} &= 1,
\frac{S_n}{2} &= \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{4} + \ldots + \frac{a_n}{2^n},\end{split}\]所以，当 $n > 1$ 时，\[\begin{split}\frac{S_n}{2} &= {a_1} + \frac{{{a_2} - {a_1}}}{2} + \cdots + \frac{{{a_n} - {a_{n - 1}}}}{{{2^{n - 1}}}} - \frac{a_n}{2^n}\\
&= 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) - \frac{2 - n}{2^n}\\
&= 1 - \left( {1 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) - \frac{2 - n}{2^n}\\
&= \frac{n}{2^n},\end{split}\]所以 ${S_n} = \dfrac{n}{{{2^{n - 1}}}}.$
综上，数列 $\left\{ {\dfrac{a_n}{{{2^{n - 1}}}}} \right\}$ 的有 $n$ 项和 ${S_n} = \dfrac{n}{{{2^{n - 1}}}}.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
