某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成 $n$ 小块地，在总共 $2n$ 小块地中，随机选 $n$ 小块地种植品种甲，另外 $n$ 小块地种植品种乙．
附：样本数据 ${x_1},{x_2},\cdots,{x_n}$ 的样本方差 ${s^2} = \dfrac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + \cdots + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$，其中 $\overline x $ 为样本平均数．
附：样本数据 ${x_1},{x_2},\cdots,{x_n}$ 的样本方差 ${s^2} = \dfrac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + \cdots + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$，其中 $\overline x $ 为样本平均数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
假设 $n = 4$，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望；标注答案$X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
P & \dfrac{1}{70} & \dfrac{8}{35} & \dfrac{18}{35} & \dfrac{8}{35} & \dfrac{1}{70} \\ \hline
\end{array}\]$X$ 的数学期望为\[\begin{split}E X & = 0 \times \dfrac{1}{70} + 1 \times \dfrac{8}{35} + 2 \times \dfrac{18}{35} + 3 \times \dfrac{8}{35} + 4 \times \dfrac{1}{70} = 2.\end{split}\]解析考查随机变量的分布列和数学期望．$X$ 可能的取值为 $ 0,1,2,3,4 $，且\[\begin{split}P\left( {X = 0} \right) & = \dfrac{1}{{{\mathrm{C}}_8^4}} = \dfrac{1}{70} , \\
P\left( {X = 1} \right) &= \dfrac{{{\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_4^3}}{{{\mathrm{C}}_8^4}} = \dfrac{8}{35} ,\\
P\left( {X = 2} \right) &= \dfrac{{{\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_4^2}}{{{\mathrm{C}}_8^4}} = \dfrac{18}{35} ,\\
P\left( {X = 3} \right) &= \dfrac{{{\mathrm{C}}_4^3{\mathrm{C}}_4^1}}{{{\mathrm{C}}_8^4}} = \dfrac{8}{35} , \\
P\left( {X = 4} \right) &= \dfrac{1}{{{\mathrm{C}}_8^4}} = \dfrac{1}{70}.\end{split}\]即 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
P & \dfrac{1}{70} & \dfrac{8}{35} & \dfrac{18}{35} & \dfrac{8}{35} & \dfrac{1}{70} \\ \hline
\end{array}\]$X$ 的数学期望为\[\begin{split}E X & = 0 \times \dfrac{1}{70} + 1 \times \dfrac{8}{35} + 2 \times \dfrac{18}{35} + 3 \times \dfrac{8}{35} + 4 \times \dfrac{1}{70} = 2.\end{split}\] -
试验时每大块地分成 $ 8 $ 小块，即 $n = 8$，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：${\mathrm{kg}}{/}{{\mathrm{hm}}}^2$）如下表：\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
品种甲 &403&397&390&404&388&400&412&406\\ \hline
品种乙 &419&403&412&418&408&423&400&413\\ \hline
\end{array}分别求品种甲和品种乙每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你应该种植哪一品种？标注答案品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：$ \overline x_甲 =400 $，$ s_甲^2 = 57.25$；
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：$ \overline x_乙 =412 $，$ s_乙^2 = 56$．
应选择种植品种乙．解析选平均值大且方差小的品种．品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：\[\begin{split}\overline x_甲 & = \dfrac{1}{8}\left( {403 + 397 + 390 + 404 + 388 + 400 + 412 + 406} \right) \\&= 400 , \\ s_甲^2 & = \dfrac{1}{8}\left( {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2} + {0^2} + {{12}^2} + {6^2}} \right) \\&= 57.25.\end{split}\]品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：\[\begin{split}\overline x_乙 & = \dfrac{1}{8}\left( {419 + 403 + 412 + 418 + 408 + 423 + 400 + 413} \right) \\& = 412 , \\ s_乙^2 & = \dfrac{1}{8}\left( {{7^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2} + {0^2} + {6^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{11}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}}+1^2 \right) \\& = 56.\end{split}\]由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应选择种植品种乙．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
