已知定点 $ A\left(-1,0\right) $，$ F\left(2,0\right) $，定直线 $l:x= \dfrac{1}{2}$，不在 $ x $ 轴上的动点 $ P $ 与点 $ F $ 的距离是它到直线 $ l $ 的距离的 $ 2 $ 倍．设点 $ P $ 的轨迹为 $ E $，过点 $ F $ 的直线交 $ E $ 于 $ B $、$ C $ 两点，直线 $ AB $、$ AC $ 分别交 $ l $ 于点 $ M $、$ N $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $ E $ 的方程；标注答案解析设 $ P\left(x,y\right) $，则\[\sqrt {{{\left(x - 2\right)}^2} + {y^2}} = 2 \left|x - \dfrac{1}{2} \right|,\]化简得\[x^2- \dfrac{{{y^2}}}{3} =1\left(y\neq 0\right).\]
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试判断以线段 $ MN $ 为直径的圆是否过点 $ F $，并说明理由．标注答案解析以线段 $ MN $ 为直径的圆经过点 $ F $．理由如下：
① 当直线 $ BC $ 与 $ x $ 轴不垂直时，设 $ BC $ 的方程为\[y=k\left(x-2\right)\left(k\neq 0\right) ,\]与双曲线 $ x^2- \dfrac{{{y^2}}}{3} =1 $ 联立消去 $ y $，得\[ \left(3-k^2\right)x^2+4k^2x-\left(4k^2+3\right)=0 .\]由题意知 $ 3-k^2\neq 0 $ 且 $ \Delta>0 $．
设 $ B\left(x_{1},y_{1}\right) $，$ C\left(x_{2},y_{2}\right) $，则\[{\begin{cases}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{4{k^2}}}{{{k^2} - 3}} ,\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{4{k^2} + 3}}{{{k^2} - 3}} ,\\
\end{cases}}\]所以\[ \begin{split} y_{1}y_{2}&=k^2\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)\\&=k^2\left[x_{1}x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)+4\right]\\&=k^2\left( \dfrac{{4{k^2} + 3}}{{{k^2} - 3}} - \dfrac{{8{k^2}}}{{{k^2} - 3}} +4\right)\\&= \dfrac{{ - 9{k^2}}}{{{k^2} - 3}}, \end{split} \]因为 $ x_{1},x_{2}\neq -1 $，所以直线 $ AB $ 的方程为\[ y= \dfrac{{{y_1}}}{{{x_1} + 1}} \left(x+1\right) ,\]因此 $ M $ 点的坐标为 $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{{3{y_1}}}{{2\left({x_1} + 1\right)}}\right)$．
所以\[\overrightarrow {FM} = \left( - \dfrac{3}{2},\dfrac{{3{y_1}}}{{2\left({x_1} + 1\right)}}\right),\]同理可得\[\overrightarrow {FN} = \left( - \dfrac{3}{2},\dfrac{{3{y_2}}}{{2\left({x_2} + 1\right)}}\right).\]因此\[\begin{split}\overrightarrow {FM} \cdot\overrightarrow {FN} &= {\left( - \dfrac{3}{2}\right)^2} + \dfrac{{9{y_1}{y_2}}}{{4\left({x_1} + 1\right)\left({x_2} + 1\right)}}\\&= \dfrac{9}{4} + \dfrac{{\dfrac{{ - 81{k^2}}}{{{k^2} - 3}}}}{{4\left(\dfrac{{4{k^2} + 3}}{{{k^2} - 3}} + \dfrac{{4{k^2}}}{{{k^2} - 3}} + 1\right)}}\\&=0.\end{split}\]② 当直线 $ BC $ 与 $ x $ 轴垂直时，其方程为 $ x=2 $，则 $ B\left(2,3\right) $，$ C\left(2,-3\right) $，$ AB $ 的方程为 $ y=x+1 $，因此 $ M $ 点的坐标为 $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right)$，
所以\[\overrightarrow {FM} = \left( - \dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right),\]同理可得\[\overrightarrow {FN} = \left( - \dfrac{3}{2}, - \dfrac{3}{2}\right).\]因此\[\overrightarrow {FM} \cdot\overrightarrow {FN} = {\left( - \dfrac{3}{2}\right)^2} + \dfrac{3}{2} \times \left( - \dfrac{3}{2}\right) =0.\]综上，$\overrightarrow {FM} \cdot\overrightarrow {FN} =0$，即 $ FM\perp FN $，故以线段 $ MN $ 为直径的圆经过点 $ F $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
