题目 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成 $n$ 小块地，在总共 $2n$ 小块地中，随机选 $n$ 小块地种植品种甲，另外 $n$ 小块地种植品种乙．<br/>附：样本数据 ${x_1},{x_2},\cdots,{x_n}$ 的样本方差 ${s^2} = \dfrac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + \cdots + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$，其中 $\overline x $ 为样本平均数． 问题1 假设 $n = 2$，求第一大块地都种植品种甲的概率； 答案1 解析1 设第一大块地中的两小块地编号为 $ 1,2 $，第二大块地中的两小块地编号为 $ 3,4 $．<br/>令事件 $A = $ "第一大块地都种品种甲"．<br/>从 $ 4 $ 小块地中任选 $ 2 $ 小块地种植品种甲的基本事件共 $ 6 $ 个：\[\left( {1,2} \right),\left( {1,3} \right),\left( {1,4} \right),\left( {2,3} \right),\left( {2,4} \right),\left( {3,4} \right).\]而事件 $A$ 包含 $ 1 $ 个基本事件：$\left( {1,2} \right)$，所以\[P\left( A \right) = \dfrac{1}{6}.\] 备注1 问题2 试验时每大块地分成 $ 8 $ 小块，即 $n = 8$，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：${\mathrm{kg}}{/}{{\mathrm{hm}}}^2$）如下表：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline<br/>品种甲 &403&397&390&404&388&400&412&406\\ \hline<br/>品种乙 &419&403&412&418&408&423&400&413\\ \hline<br/>\end{array} \]分别求品种甲和品种乙每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你应该种植哪一品种？ 答案2 解析2 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：\[\begin{split}\overline x_ 甲 &= \frac{1}{8}\left( {403 + 397 + 390 + 404 + 388 + 400 + 412 + 406} \right) \\&= 400,\\<br/>s_ 甲 ^2 &= \frac{1}{8}\left[{{3^2} + {{\left( - 3\right)}^2} + {{\left( - 10\right)}^2} + {4^2} + {{\left( - 12\right)}^2} + {0^2} + {{12}^2} + {6^2}} \right] \\&= 57.25;\end{split}\]品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：\[\begin{split}\overline x_ 乙 &= \frac{1}{8}\left( {419 + 403 + 412 + 418 + 408 + 423 + 400 + 413} \right) \\&= 412,\\<br/>s_ 乙 ^2 &= \frac{1}{8}\left[ {{7^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2} + {0^2} + {6^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{11}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} +1^2\right]\\& = 56.\end{split}\]由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且品种乙的样本方差小于品种甲的样本方差，故应选择种植品种乙． 备注2