设函数 $f\left( x \right) = x + a{x^2} + b\ln x$，曲线 $y = f\left( x \right)$ 过 $P\left( {1,0} \right)$，且在 $P$ 点处的切线斜率为 $ 2 $．
【难度】
【出处】
2011年高考辽宁卷（文）
【标注】
-
求 $a,b$ 的值；标注答案解析\[f'\left( x \right) = 1 + 2ax + \frac{b}{x}.\]由已知条件得\[\begin{cases}
f\left( 1 \right) = 0 ,\\
f'\left( 1 \right) = 2, \\
\end{cases}\]即\[\begin{cases}1 + a = 0, \\
1 + 2a + b = 2, \\
\end{cases}\]解得\[ a = - 1,b = 3.\] -
证明：$f\left( x \right) \leqslant 2x - 2$．标注答案解析$f\left( x \right)$ 的定义域为 $\left( {0, + \infty } \right)$，由（1）知\[f\left( x \right) = x - {x^2} + 3\ln x,\]设\[\begin{split}g\left( x \right) &= f\left( x \right) - \left( {2x - 2} \right) \\&= 2 - x - {x^2} + 3\ln x,\end{split}\]则\[\begin{split}g'\left( x \right) &= - 1 - 2x + \frac{3}{x} \\&= - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{x},\end{split}\]当 $0 < x < 1$ 时，\[g'\left( x \right) > 0;\]当 $x > 1$ 时，\[g'\left( x \right) < 0.\]所以 $g\left( x \right)$ 在 $\left( {0,1} \right)$ 单调递增，在 $\left( {1, + \infty } \right)$ 单调递减．
而 $g\left( 1 \right) = 0$，故当 $x > 0$ 时，$g\left( x \right) \leqslant 0$，即\[f\left( x \right) \leqslant 2x - 2.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
