题目 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 ${C_1}$ 的参数方程为 $\begin{cases}<br/>x = \cos \varphi , \\<br/>y = \sin \varphi \\<br/>\end{cases}$（$ \varphi $ 为参数），曲线 ${C_2}$ 的参数方程为 $\begin{cases}x = a\cos \varphi , \\<br/>y = b\sin \varphi \\<br/>\end{cases}$（$ a > b > 0 $，$ \varphi $ 为参数）．在以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $l:\theta = \alpha $ 与 ${C_1}$，${C_2}$ 各有一个交点，当 $\alpha = 0$ 时，这两个交点间的距离为 $2$，当 $\alpha = \dfrac{\mathrm \pi }{2}$ 时，这两个交点重合． 问题1 分别说明 ${C_1}$，${C_2}$ 是什么曲线，并求出 $a$ 与 $b$ 的值； 答案1 解析1 ${C_1}$ 是圆，${C_2}$ 是椭圆．<br/>当 $\alpha = 0$ 时，射线 $l$ 与 ${C_1}$，${C_2}$ 交点的直角坐标分别为 $\left( {1,0} \right)$，$\left( {a,0} \right)$．<br/>因为这两点间的距离为 $ 2 $，所以 $a = 3$．<br/>当 $\alpha = \dfrac{\mathrm \pi }{2}$ 时，射线 $l$ 与 ${C_1}$，${C_2}$ 交点的直角坐标分别为 $\left( {0,1} \right)$，$\left( {0,b} \right)$．<br/>因为这两点重合，所以 $b = 1$． 备注1 问题2 设当 $\alpha = \dfrac{\mathrm \pi }{4}$ 时，$l$ 与 ${C_1}$，${C_2}$ 的交点分别为 ${A_1}$，${B_1}$，当 $\alpha = - \dfrac{\mathrm \pi }{4}$ 时，$l$ 与 ${C_1}$，${C_2}$ 的交点分别为 ${A_2}$，${B_2}$，求四边形 ${A_1}{A_2}{B_2}{B_1}$ 的面积． 答案2 解析2 ${C_1}$，${C_2}$ 的普通方程分别为\[{x^2} + {y^2} = 1 , \dfrac{x^2}{9} + {y^2} = 1.\]当 $\alpha = \dfrac{\mathrm \pi }{4}$ 时，射线 $l$ 与 ${C_1}$ 交点 ${A_1}$ 的横坐标为 $x = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，与 ${C_2}$ 交点 ${B_1}$ 的横坐标为 $x' = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{10}$．当 $\alpha = - \dfrac{\mathrm \pi }{4}$ 时，射线 $l$ 与 ${C_1},{C_2}$ 的两个交点 ${A_2},{B_2}$ 分别与 ${A_1},{B_1}$ 关于 $x$ 轴对称，<br/>因此四边形 ${A_1}{A_2}{B_2}{B_1}$ 的面积为\[\dfrac{{\left( {2x' + 2x} \right)\left( {x' - x} \right)}}{2} = \dfrac{2}{5}.\] 备注2