题目 某同学参加 $ 3 $ 门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 $\dfrac{4}{5}$，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 $p , q \left(p > q \right) $，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记 $ ξ $ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline<br/>\xi & 0 &1&2 &3 \\ \hline<br/>P &\frac{6}{125} & a & d & \frac{24}{125} \\ \hline<br/>\end{array} \] 问题1 求该生至少有 $ 1 $ 门课程取得优秀成绩的概率； 答案1 解析1 事件 ${A_i}$ 表示“该生第 $i$ 门课程取得优秀成绩”，$i =1,2,3$，由题意知\[P\left({A_1}\right) = \dfrac{4}{5} , P\left({A_2}\right) = p , P\left({A_3}\right) = q.\]由于事件“该生至少有 $ 1 $ 门课程取得优秀成绩”与事件“$\xi = 0$”是对立的，所以该生至少有 $ 1 $ 门课程取得优秀成绩的概率是\[1 - P\left(\xi = 0\right) = 1 - \dfrac{6}{{125}} = \dfrac{{119}}{{125}}.\] 备注1 问题2 求 $p$，$q$ 的值； 答案2 解析2 由题意知<br/>$P\left(\xi = 0\right) = P\left({\overline {{A_1}}} \overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \right) = \dfrac{1}{5}\left(1 - p\right)\left(1 - q\right) = \dfrac{6}{{125}}$，<br/>$P\left(\xi = 3\right) = P\left({A_1}{A_2}{A_3}\right) = \dfrac{4}{5}pq = \dfrac{{24}}{{125}}$，<br/>整理得 $pq = \dfrac{6}{{125}}$，$p + q = 1$．<br/>由 $p > q$，可得 $p = \dfrac{3}{5}$，$q = \dfrac{2}{5}$． 备注2 问题3 求数学期望 $E ξ$． 答案3 解析3 由题意知\[ \begin{split}a & = P\left(\xi = 1\right) \\& = P\left({A_1}\overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \right) + P\left(\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} \right) + P\left(\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}\right) \\&<br/>= \dfrac{4}{5}\left(1 - p\right)\left(1 - q\right) + \dfrac{1}{5}p\left(1 - q\right) + \dfrac{1}{5}\left(1 - p\right)q \\&<br/>= \dfrac{{37}}{{125}}. \\ b & = P\left(\xi = 2\right) \\& = 1 - P\left(\xi = 0\right) - P\left(\xi = 1\right) - P\left(\xi = 3\right) \\&<br/>= \dfrac{{58}}{{125}}, \\ E\xi & = 0 \times P\left(\xi = 0\right) + 1 \times P\left(\xi = 1\right) + 2P\left(\xi = 2\right) + 3P\left(\xi = 3\right) \\&<br/>= \dfrac{9}{5} . \end{split} \] 备注3