已知函数 $f \left(x \right) =\ln \left(1+ x \right)- x + \dfrac{k}{2}{x^2} \left( k \geqslant 0\right)$．
【难度】
【出处】
2010年高考北京卷（理）
【标注】
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当 $k =2$ 时，求曲线 $y = f \left( x \right) $ 在点 $ \left(1, f \left(1\right)\right) $ 处的切线方程；标注答案$3x - 2y + 2\ln 2 - 3 = 0$．解析当 $k = 2$ 时，\[f\left(x\right) = \ln \left(1 + x\right) - x + {x^2} , f'\left(x\right) = \dfrac{1}{1 + x} - 1 + 2x.\]由于\[f\left(1\right) = \ln 2 , f'\left(1\right) = \dfrac{3}{2} ,\]所以曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线方程为\[y - \ln 2 = \dfrac{3}{2}\left(x - 1\right),\]即\[3x - 2y + 2\ln 2 - 3 = 0.\]
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求 $f \left(x \right) $ 的单调区间．标注答案当 $k = 0$ 时，$f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left( - 1,0\right)$，单调递减区间是 $\left(0, + \infty \right)$．
当 $0 < k < 1$ 时，$f\left(x\right)$ 的单增区间是 $\left( - 1,0\right)$ 和 $\left(\dfrac{1 - k}{k}, + \infty \right)$，单减区间是 $\left(0,\dfrac{1 - k}{k}\right)$．
当 $k = 1$ 时，$f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left( - 1, + \infty \right)$．
当 $k > 1$ 时，$f\left(x\right)$ 的单增区间是 $\left( - 1,\dfrac{1 - k}{k}\right)$ 和 $\left(0, + \infty \right)$，单减区间是 $\left(\dfrac{1 - k}{k},0\right)$．解析由题\[f'\left(x\right) = \dfrac{x\left(kx + k - 1\right)}{1 + x} , x \in \left( - 1, + \infty \right) .\]当 $k = 0$ 时，\[f'\left(x\right) = - \dfrac{x}{1 + x}.\]所以，在区间 $\left( - 1,0\right)$ 上，$f'\left(x\right) > 0$；在区间 $\left(0, + \infty \right)$ 上，$f'\left(x\right) < 0$．
故 $f\left(x\right)$ 得单调递增区间是 $\left( - 1,0\right)$，单调递减区间是 $\left(0, + \infty \right)$．
当 $0 < k < 1$ 时，由\[f'\left(x\right) = \dfrac{x\left(kx + k - 1\right)}{1 + x} = 0,\]得\[{x_1} = 0 , {x_2} = \dfrac{1 - k}{k} > 0,\]所以，在区间 $\left( - 1,0\right)$ 和 $\left(\dfrac{1 - k}{k}, + \infty \right)$ 上，$f'\left(x\right) > 0$；在区间 $\left(0,\dfrac{1 - k}{k}\right)$ 上，$f'\left(x\right) < 0$．
故 $f\left(x\right)$ 得单调递增区间是 $\left( - 1,0\right)$ 和 $\left(\dfrac{1 - k}{k}, + \infty \right)$，单调递减区间是 $\left(0,\dfrac{1 - k}{k}\right)$．
当 $k = 1$ 时，\[f'\left(x\right) = \dfrac{x^2}{1 + x}.\]故 $f\left(x\right)$ 得单调递增区间是 $\left( - 1, + \infty \right)$．
当 $k > 1$ 时，\[f'\left(x\right) = \dfrac{x\left(kx + k - 1\right)}{1 + x} = 0,\]得\[{x_1} = \dfrac{1 - k}{k} \in \left( - 1,0\right) , {x_2} = 0 .\]所以，在区间 $\left( - 1,\dfrac{1 - k}{k}\right)$ 和 $\left(0, + \infty \right)$ 上，$f'\left(x\right) > 0$；在区间 $\left(\dfrac{1 - k}{k},0\right)$ 上，$f'\left(x\right) < 0$．
故 $f\left(x\right)$ 得单调递增区间是 $\left( - 1,\dfrac{1 - k}{k}\right)$ 和 $\left(0, + \infty \right)$，单调递减区间是 $\left(\dfrac{1 - k}{k},0\right)$．
综上所述，
当 $k = 0$ 时，$f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left( - 1,0\right)$，单调递减区间是 $\left(0, + \infty \right)$．
当 $0 < k < 1$ 时，$f\left(x\right)$ 的单增区间是 $\left( - 1,0\right)$ 和 $\left(\dfrac{1 - k}{k}, + \infty \right)$，单减区间是 $\left(0,\dfrac{1 - k}{k}\right)$．
当 $k = 1$ 时，$f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left( - 1, + \infty \right)$．
当 $k > 1$ 时，$f\left(x\right)$ 的单增区间是 $\left( - 1,\dfrac{1 - k}{k}\right)$ 和 $\left(0, + \infty \right)$，单减区间是 $\left(\dfrac{1 - k}{k},0\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
