设 ${F_1}$，${F_2}$ 分别是椭圆 $E:{x^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1\left(0<b<1\right)$ 的左、右焦点，过 ${F_1}$ 的直线 $l$ 与 $ E $ 相交于 $ A $、$ B $ 两点，且 $\left| {A{F_2}} \right|$，$\left| {AB} \right|$，$\left| {B{F_2}} \right|$ 成等差数列．
【难度】
【出处】
2010年高考新课标全国卷（文）
【标注】
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求 $\left| {AB} \right|$；标注答案$ |{AB}| = \dfrac{4}{3} $解析由椭圆定义知\[|{ A}{F}_2 |{ + }|{ A}{B}| + |{ B}{{F}_{2}}| = 4.\]又\[2|{AB}|{ = }|{A}{{F}_2}| + |{ B}{{F}_2}|,\]得\[|{AB}| = \dfrac{4}{3}.\]
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若直线 $l$ 的斜率为 $ 1 $，求 $ b $ 的值．标注答案$b = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$．解析$ l $ 的方程式为 $ y=x+c $，其中 $c = \sqrt {1 - {b^2}} $．
设 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_1},{y_1}\right)$，则 $ A , B $ 两点坐标满足方程组\[ \begin{cases}{{x^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1} , \\ { y = x + c},\end{cases}\]化简得\[\left(1 + {b^2}\right){x^2} + 2cx + 1 - 2{b^2} = 0.\]则\[{x_1} + {x_2} = \dfrac{ - 2c}{{1 + {b^2}}},{x_1}{x_2} = \dfrac{{1 - 2{b^2}}}{{1 + {b^2}}}.\]因为直线 $ AB $ 的斜率为 $ 1 $，所以\[|{ A}{ B}| = \sqrt 2 |{x_2} - {x_1}|,\]即\[\dfrac{4}{3} = \sqrt 2 |{x_2} - {x_1}|.\]则\[\begin{split}\dfrac{8}{9} &= {\left({x_1} + {x_2}\right)^2} - 4{x_1}{x_2} \\&= \dfrac{{4\left(1 - {b^2}\right)}}{{{{\left(1 + {b^2}\right)}^2}}} - \dfrac{{4\left(1 - 2{b^2}\right)}}{{1 + {b^2}}} \\&= \dfrac{{8{b^4}}}{{1 + {b^2}}},\end{split}\]解得 $b = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
