设函数 ${f{\left( x \right)}} = x\left( {{{\mathrm{e}}^x} - 1} \right) - a{x^2}$．
【难度】
【出处】
2010年高考新课标全国卷（文）
【标注】
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若 $a= \dfrac{1}{2}$，求 ${f{\left( x \right)}}$ 的单调区间；标注答案解析$a=\dfrac 1 2 $ 时，$f\left(x\right) = x\left({{\mathrm{e}}^x} - 1\right) - \dfrac{1}{2}{x^2}$，
$f'\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - 1 + x{{\mathrm{e}}^x} - x = \left({{\mathrm{e}}^x} - 1\right)\left(x + 1\right)$．
当 $x \in \left( { - \infty , - 1} \right)$ 时 $f'\left(x\right) > 0$；
当 $x \in \left( { - 1,0} \right)$ 时，$f'\left(x\right) < 0$；
当 $x \in \left( {0, + \infty } \right)$ 时，$f'\left(x\right) > 0$．
故 $f\left(x\right)$ 在 $\left( { - \infty , - 1} \right)$，$\left( {0, + \infty } \right)$ 单调递增，在 $ \left(-1,0\right) $ 单调递减． -
若当 $x \geqslant 0$ 时 ${f{\left( x \right)}} \geqslant 0$，求 $ a $ 的取值范围．标注答案解析由题 $f\left(x\right) = x\left({{\mathrm{e}}^x} - 1 - ax\right)$．
令 $g\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - 1 - ax$，则 $g'\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - a$．
若 $a \leqslant 1$，则当 $x \in \left( {0, + \infty } \right)$ 时，$g'\left(x\right) > 0$，$g\left(x\right)$ 为增函数，
而 $g\left(0\right) = 0$，从而当 $ x\geqslant 0 $ 时，$g\left(x\right)\geqslant 0$，即 $f\left(x\right) \geqslant 0$．
若 $a > 1$，则当 $x \in \left( {0,\ln a} \right)$ 时，$g'\left(x\right) < 0$，$g\left(x\right)$ 为减函数，
而 $g\left(0\right) = 0$，从而当 $x \in \left( {0,\ln a} \right)$ 时，$g\left(x\right) <0$，即 $f\left(x\right)<0$．
综合得 $a$ 的取值范围为 $\left( { - \infty ,1} \right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
