在 $\triangle ABC$ 中，$\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{\cos B}{\cos C}$．
【难度】
【出处】
2010年高考天津卷（文）
【标注】
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证明：$ B=C $；标注答案解析在 $ \triangle ABC $ 中，由正弦定理及已知得\[\dfrac{\sin B}{{\sin {C}}} = \dfrac{\cos B}{\cos C}.\]于是\[\sin B\cos C-\cos B\sin C=0,\]即\[\sin \left(B-C\right)=0.\]因为\[ - {\mathrm \pi } < B - C < {\mathrm \pi },\]从而 $ B-C=0 $．所以 $ B=C $．
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若 $\cos A =- \dfrac{1}{3}$，求 $\sin \left( {4 B + \dfrac{{\mathrm \pi } }{3}} \right)$ 的值．标注答案解析由 $ A+B+C= {\mathrm \pi } $ 和（1）得\[A= {\mathrm \pi } -2B,\]故\[\cos 2B=-\cos \left( {\mathrm \pi }-2B\right)=-\cos A= \dfrac{1}{3} .\]又 $0<2B< {\mathrm \pi } $，于是\[\sin 2B= \sqrt {1 - {{\cos }^2}2B} = \dfrac{2\sqrt 2 }{3} .\]从而\[ \sin 4B=2\sin 2B \cos 2B= \dfrac{4\sqrt 2 }{9} ,\cos 4B= {\cos ^2}2B - {\sin ^2}2B = - \dfrac{7}{9} .\]所以\[\sin \left(4B + \dfrac{\mathrm \pi }{3}\right) = \sin 4B\cos \dfrac{{\mathrm \pi } }{3} + \cos 4B\sin \dfrac{{\mathrm \pi } }{3} = \dfrac{4\sqrt 2 - 7\sqrt 3 }{18}. \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
