已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n} = \left({n^2} + n\right)\cdot {3^n}$．
【难度】
【出处】
2010年高考大纲全国II卷（理）
【标注】
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求 $ \lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{a_n}{S_n}$；标注答案解析因为\[ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{a_n}{S_n} =\lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{{{S_n} - {S_{n - 1}}}}{S_n} = \lim \limits_{n \to \infty } \left(1 - \dfrac{{{S_{n - 1}}}}{S_n}\right) = 1 - \lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{{{S_{n - 1}}}}{S_n} ,\]而\[\lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{{{S_{n - 1}}}}{S_n} = \frac{{\left[ {{{\left( {n - 1} \right)}^2} + \left( {n - 1} \right)} \right] \cdot {3^{n - 1}}}}{{\left( {{n^2} + n} \right) \cdot {3^n}}} = \frac{1}{3},\]所以 $\lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{a_n}{S_n} = \dfrac{2}{3}$．
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证明：$\dfrac{a_1}{1^2} + \dfrac{a_2}{2^2} + \cdots + \dfrac{a_n}{n^2}>{3^n}$．标注答案解析当 $n = 1$ 时，\[\dfrac{a_1}{1^2} = {S_1} = 6 > 3;\]当 $n > 1$ 时，\[ \begin{split} \dfrac{a_1}{1^2} + \dfrac{a_2}{2^2} + \cdots + \dfrac{a_n}{n^2}
& = \dfrac{a_1}{1^2} + \dfrac{{{S_2} - {S_1}}}{2^2} + \cdots + \dfrac{{{S_n} - {S_{n - 1}}}}{n^2}
\\& = \left({\dfrac{1} {1^2}} - \dfrac{1}{2^2}\right) \cdot S_1 + \left(\dfrac{1}{2^2} - \dfrac 1{3^2}\right) \cdot S_2 + \cdots \\&+ \left[\dfrac 1{\left(n-1\right)^2} - \dfrac 1{n^2}\right] \cdot S_{n-1} + \dfrac 1 {n^2} \cdot S_n \\&
> \dfrac {S_n}{n^2} = \dfrac {n^2+n}{n^2} \cdot 3^n>3^n .\end{split} \]所以，当 $n \geqslant 1$ 时，$\dfrac{a_1}{1^2} + \dfrac{a_2}{2^2} + \cdots + \dfrac{a_n}{n^2}>{3^n}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
