由题设知，$l$ 的方程为 $y = x + 2$．
代入 $ C $ 的方程，并化简，得\[\left({b^2} - {a^2}\right){x^2} - 4{a^2}x - 4{a^2} - {a^2}{b^2} = 0 .\]设 $B\left({x_1},{y_1}\right)$、$D\left({x_2},{y_2}\right)$，则\[ {x_1} + {x_2} = \dfrac{{4{a^2}}}{{{b^2} - {a^2}}},{x_1} \cdot {x_2} = - \dfrac{{4{a^2} + {a^2}{b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}} , \quad \cdots \cdots ① \]由 $M\left(1,3\right)$ 为 $ BD $ 的中点知 $\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 1$，故 $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{{4{a^2}}}{{{b^2} - {a^2}}} = 1$，
即\[{b^2} = 3{a^2} , \quad \cdots \cdots ② \]故 $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2a$，所以 $ C $ 的离心率 $e = \dfrac{c}{a} = 2$．

由 $ ①② $ 知，$ C $ 的方程为 $3{x^2} - {y^2} = 3{a^2}$，$A\left(a,0\right)$，$F\left(2a,0\right)$，${x_1} + {x_2} = 2$，${x_1}{x_2} = - \dfrac{{4 + 3{a^2}}}{2} < 0$，
故不妨设 ${x_1} \leqslant - a$，${x_2} \geqslant a$．
$\left| {BF} \right| = \sqrt {{{\left({x_1} - 2a\right)}^2} + y_1^2} = \sqrt {{{\left({x_1} - 2a\right)}^2} + 3x_1^2 - 3{a^2}} = a - 2{x_1}$，
$\left| {FD} \right| = \sqrt {{{\left({x_2} - 2a\right)}^2} + y_2^2} = \sqrt {{{\left({x_2} - 2a\right)}^2} + 3x_2^2 - 3{a^2}} = 2{x_2} - a$，
所以\[ \left| {BF} \right| \cdot \left| {FD} \right| = \left(a - 2{x_1}\right)\left(2{x_2} - a\right) = - 4{x_1}{x_2} + 2a\left({x_1} + {x_2}\right) - {a^2} = 5{a^2} + 4a + 8 .\]又 $\left| {BF} \right| \cdot \left| {FD} \right| = 17$，故 $5{a^2} + 4a + 8 = 17$，解得 $a = 1,$ 或 $a = - \dfrac{9}{5}$（舍去）．
故\[ \left| {BD} \right| = \sqrt 2 \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt 2 \cdot \sqrt {{{\left({x_1} + {x_2}\right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = 6 .\]连接 $ MA $，则由 $A\left(1,0\right)$，$M\left(1,3\right)$ 知 $\left| {MA} \right| = 3$，从而 $MA = MB = MD$，且 $MA \bot x$ 轴，
因此以 $ M $ 为圆心，$ MA $ 为半径的圆经过 $ A $、$ B $、$ D $ 三点，且在点 $ A $ 处于 $x$ 轴相切．
所以过 $ A $、$ B $、$ D $ 三点的圆与 $x$ 轴相切．